Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Anneau des polynomes - irréductabilité
Bonjour à tous !
J'ai un petit soucis avec la mise en application de mes cours d'algèbre sur les Anneaux ( Quotient, Principaux, Euclidiens, Factoriels etc... ).
Voici l'exercice sur lequel je bloque :
Soient K un corps et P,Q 
K[X,Y] deux polynômes sans facteur irréductible commun.
a) Montrer que dans l'anneau K(X)[Y], ( ou K(X) est le corps des fractions de K[X]) P et Q n'ont toujours pas de facteur irréductible commun.
b) Montrer qu'il existe A,B K[X,Y] et D dans K[X], D non nul, tels que D = AP+BQ.
------------
a) Pour cette question je ne sais pas trop, puisque K[X,Y] n'est pas principal, on n'a pas Bezout, juste une notion de pgcd.
b) Comme P et Q sont premiers entre eux dans K(X)[Y], d'après Bézout, il existe et
tq
, ainsi il existe donc
et
tels que AP+BQ=D.
Je vous remercie de me donner un petit coup de pouce pour ces questions 
Pour s'y retrouver dans k[X,Y]=k[X][Y] il faut considérer le contenu des polynômes
C(P) est le pgcd des coefficients a_i(X) de P comme polynome en Y
Si F est facteur irréductible commun de P et Q dans k(X)[Y]
on peut écrire en réduisant au même dénominateur les coeffs et en simplifiant tout ce qui peut l'être
avec premier avec le contenu de
(produit des deux contenus)
donc premier avec contenu de et celui de
puisqu'on a simplifié tout ce qui peut l'être.
De même, on peut écrire en réduisant au même dénominateur les coeffs et en simplifiant tout ce qui peut l'être
avec premier avec le contenu de
(produit des deux contenus) donc premier avec contenu de
et celui de
puisqu'on a simplifié tout ce qui peut l'être
on chasse les dénominateurs dans les deux égalités et en appliquant le lemme de Gauss à on voit qu'il divise cont(P) et cont(Q) donc P et Q
Donc =1.
donc divise
Donc
donc divise
Donc
les dénominateurs ont disparus
et est un diviseur commun dans k[X,Y] donc un polynôme constant. CQFD
Bonjour apaugam,
Je te remercie beaucoup pour ta réponse très claire et complète.
Effectivement, il semblerait que ce soit la solution à cette question. J'ai pu en parler un peu plus avec mon prof ce matin.
Le fait de gérer les contenu des polynômes était assez neuf chez moi, je n'y avais pas pensé.
En tout cas je te remercie beaucoup pour ton aide.
En ce qui concerne la question b), il faut effectivement considérer K(X)[Y] comme l'anneau des polynômes en Y à coefficients dans le corps K(X). Cet anneau est donc euclidien et par suite principal, ce qui permet d'utiliser Bézout :
Il existe bien tels que
, ensuite il suffit de réduire au meme dénominateur et on obtient les trois polynomes demandés A,B,D avec
.
De rien
c'est un plaisir pour moi
en algèbre dans les anneaux de polynômes sur le corps des fractions d'un anneau euclidiens il faut se souvenir des réflexes de son enfance sur les fractions : réduire au même dénominateur, simplifier au maximum
et surtout chasser les dénominateurs
pour pouvoir utiliser les théorèmes d'arithmétique de l'anneau euclidien, comme le lemme de Gauss
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac