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Anneau encore
Bonsoir à tous~~
Je n'ai pas bien compris les anneaus,est-ce que quelqu'un peut m'aide pour corriger l'exercice suivant?
Soit D=
[
5] et F=
[5]
a).Montrer que X2+X-1 est irreductible dans D[X] mais n'est pas irrductible dans F[X].
b)Considerer l'ideal principal I=(X2+X-1)dans D[X].Est-il maximal? Est-il premier?
c)L'anneau quotient D[X]/(X2+X-1) est-il un anneau integre? Est-il un corps?
Merci d'avance~~
Salut, 
a) Les racines n'étant pas décimales... Mais les racines étant (-1+V(5))/2 et (-1-V(5))/2 ...
b) Soit A et B deux polynômes tels que AB soit dans c'te idéal. Alors AB=(X²+X-1)D. D'où il vient que X²+X-1|A ou B. et donc soit A soit B sont dans I.
I est premier.
Avec un peu de chance il sera même maximale, ça m'étonnerait pas mais faudrait approfondir tout ça.
c) Soit I est maximale dans ce cas c'est un corps, sinon c'est quand même un anneau intègre.
a) Les racines n'étant pas décimales...
Oui bon enfin, tu auras compris ce que j'ai voulu dire...
Bonjour
L'idéal I engendré par X2+X-1 dans D[X] n'est pas premier.
En effet, alors qu'aucun des polynômes de degré 1 n'est dans I.
Désolée, Ayoub.
ça arrive... En fait je me suis méfiée, parce que D n'est pas principal 4=22=(5+1)(5-1) et que tu as utilisé un argument de type Gauss.
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