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Anneau et ses idéaux
Bonjour voici un exercice sur lequel je bloque
Soit A un anneau et I, J, K 3 idéaux de A.
Montrer que:
1) I(J+K) = IJ + IK
2) si I+J = A alors IJ = I
J
3) si J
I alors I(J+K) = IJ + IK
1) J'ai réussi facilemen
3) Voici mon début:
Je vérifie facilement l'inclusion de droite à gauche
Mais de gauche a droite je bloque.
Je dis que x appartient a I(J+K) De ce fait il existe j appartenant à J et k appartenant à K tels que x = j + k
J'ai alors k = x - j mais arrivé la je ne sais pas quoi faire
Merci de m'aider
Je viens de trouver qqch mais est-ce bon ??
je suppose que x appartient à I inter (J+K)
donc x appartient à I et x appartient à (J+K)
Or J inclue dans I donc en particulier x appartient à I inter J
et x appartient à (J+K) donc il existe j de J et k de K tels que x = j+k donc x appartient à J+K
Donc x appartient à (I inter J) + (I inter K)
Remarques 1.Il me semble qu'il faudrait préciser si les idéaux considérés sont à gauche ou à droite ou bilatères .
2. Le fait que I J,K soient des idéaux me semble superflu.
Soient A , B , C des sous groupes de(A , +) tels que B A.
1.Soit x 
A 
(B + C). On peut donc trouver b B et c C tels que x = b + c .On a b A B et c = x - b A - B A - A = A (car A est un ss gr pour +) donc c A C .
x est donc dans AB + AC.
Cela prouve que A (B + C) AB + AC.
2.Inversement il est clair que AB + AC A + A = A et AB + AC B + C.
On a donc A (B + C) = AB + AC.
.
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