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Anneau euclidien
Bonsoir,
J'aurais besoin d'aide sur cet exercice (désolé pour les "appartient à", je ne connais rien au latex:s) :
Soit H le corps non commutatif des quaternions. C’est Q4, de base canonique notée (1,i,j,k) avec la multiplication définie
par i = j =k =-1 et ij =k.
1]Si z =a+bi+cj+dk dans H, on pose z(barre)=a-bi-cj-dk et N(z)=zz(barre).
Montrer que N(z)=a2+b2+c2+d2 et que N(zz')=N(z)N(z'). En déduire que l’ensemble des entiers qui sont somme de quatre carrés d’entiers est stable par multiplication.
2]Montrer que l’ensemble A0 des x+yi+zj+tk dans H avec x, y, z, t dans Z est un sous-anneau
(non commutatif) de H.
3]Soit e=(1+i+j+k)/2.Calculer e2.
En déduire que l’ensemble A des a dans H tels que a dans A0 ou (a-e) dans A0 est un sous-anneau de H.
Si z appartient à A, montrer que N(z) appartient à N.
Montrer que z dans A est inversible si et seulement si N(z)=1.
4]Montrer que A est un anneau euclidien. En déduire que tout idéal (à gauche) de A est
principal (de la forme Az pour z dans A).
5]Soit p un nombre premier impair. Montrer qu’il existe des entiers a, b non tous deux
2 2
multiplesde p telsque a2+b2+1=0 modulo p.
Soit I l’idéal à gauche de A engendré par p et 1+ai+bj.
Si I=Az, montrer que N(z)=p.
En déduire que p est somme de quatre carrés d’entiers. (Si z dans A0, c’est fini. Sinon, montrer qu’il existe u=1/2.(-+1 -+i -+j -+k) dans A* et b dans A0 tels que z=u+2b;
remarquer que zu-1 appartient à A0)
6]Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 0, il existe des entiers a, b, c, d tels que
n=a2+b2+c2+d2.
Je planche à la question 4]... J'ai choisi pour stathme l'application qui à z associe la norme de z (j'ai démontré que celle-ci était entière), mais ne parviens pas à établir de division euclidienne (je n'ai pas unicité des solutions ; j'ai essayé *pour commencer* de travailler sur les entiers de Gauss, mais même dans ce cas, je n'ai jamais unicité du couple (q,r)
)
Toute aide serait la bienvenue, merci d'avance 
Petit rectificatif :
Soit H le corps non commutatif des quaternions. C’est Q4, de base canonique notée (1,i,j,k) avec la multiplication définie
par i = j =k =-1 et ij =k., c'est bien évidemment : i2=j2=k2=-1 et ij=k.
Bonjour
Non, tu n'as pas unicité des solutions... La démonstration est très semblable à celle du fait que l'anneau des entiers de Gauss est euclidien et je répète, il n'y a pas d'unicité.
Tu prends deux quaternions u et v, tu écris u/v sous forme un quaternion à coefficients rationnels et tu choisis un élément de A dont toutes les coordonnées sont à moins de 1/2 de u/v.
Le fait que ça entraine que les idéaux à gauche sont principaux, se fait exactement comme dans Z.
Merci de ta réponse! Si je comprends bien,
Je prends (q,q') dans A X A*
Je pose q''=q/q'=w+ix+jy+kz (w,x,y,z) dans Q4
Puis je prends w0, x0, y0 et z0 quelconques dans A2 tels que
||w-w0||<1/2
||x-x0||<1/2
||y-y0||<1/2
||z-z0||<1/2
Ensuite je montre q=q'(w0+ix0+jy0+kz0)+r (avec r dans A ||r||<||q'||)
En ce qui concerne les idéaux principaux, je ne comprends guère l'énoncé, l'élément z ne devrait'il pas être dans l'idéal en question? (il est seulement précisé dans l'anneau A)
(Navré si mes questions paraissent étranges, je ne suis qu'en sup' et n'ai donc pas vu la méthode que tu as mentionnée pour Z)
D'après ce que j'ai cru comprendre sur les idéaux, si :
1)Je montre que A est intègre (déjà fait)
2)Je prend un des quaternions de norme minimale n de Ik(idéal quelconque de A) ie 1, i, j ou k ; et a dans Ik tel que ||a||=n. Soit x dans Ik et (w0+ix0+jy0+kz0,r) tels que x=a(w0+ix0+jy0+kz0)+r avec ||r||<||a||, or r dans I, donc r=0 donc x dans aI.
Celà suffit'il à montrer que l'on à affaire à un anneau idéal?
Je suis un peu étonnée par l'emploi d'euclidien dans un anneau non-commutatif!
Néanmoins, je te conseille de rédiger sous la forme Si a et b sont dans A avec b non nul, il existe q et r tels que
a=qb+r avec N(r) < N(b) ou r=0
et de bien garder q toujours devant b (c'est ce qui colle bien avec les idéaux à gauche.
Tu prends à chaque fois et pareil pour les autres... c'est là le défaut d'unicité. Si q"=1/2 tu as le choix entre 0 et 1 comme élément de A "le plus proche"!
Pour l'idéal. On te demande de montrer que si I est un idéal à gauche il existe z dans A tel que I=Az. En fait, tu prends bien sur z dans I tel que N(z) soit minimal. Puis tu suis exactement la démonstration dans Z.
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