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anneau fini, élément non diviseur de 0
Bonsoir, j'ai un exercice qui commence quelque peut à me titiller, j'ai pensé a plusieurs méthodes pour le faire mais je n'y arrive pas (peut être que je n'ai pas trouvé la bonne tout simplement).
Voilà l'énoncé :
Soit A un anneau fini. Démontrer que tout élément qui n'est pas diviseur de 0 à gauche est inversible.
J'ai d'abord essayé de le démontrer par contraposée, mais le fait que cela ne soit pas inversible ne m'avance pas beaucoup :
Soit a un élément non inversible de A alors, 
b 
A; ab
1
je ne vois pas comment je peux arriver au résultat ab=0
J'ai ensuite essayé d'utiliser la définition de régulier :
Soit a un élément qui n'est pas diviseur de A à gauche, alors a est dit régulier d'où ax=0 ssi x=0
et là je suis encore bloquée.
Est-ce-que quelqu'un saurait me débloquer ou me donner une autre méthode (si je n'ai pas la bonne)
merci 
Bonjour,
soit a ton élément de A non diviseur de 0.
Soit f l'application de A dans A définie par x->f(x)=a.x
Alors f est injective (pourquoi?) donc surjective, donc 1 possède un antécédent.
Alors voila l'exercice rédigé (je ne suis pas sure que toutes les justifications soient correctes ou qu'il y en ait assez)
Soit aA un élément qui n'est pas diviseur de 0 à gauche.
Or un élément est dit diviseur de 0 s'il est à la fois diviseur à gauche de 0 et diviseur à droite (par définition).
D'où a n'est pas diviseur de 0.
Nous définissons l'application f:A
A
x
ax
Nous voulons montrer que f est bijective.
Dans un premier temps, montrons que f est injective.
Supposons f(x)=f(x')
ax=ax'
ax-ax'=0 (car ax'A donc possède un opposé)
a(x-x')=0 (par distributivité)
x-x'=0 (car a n'est pas diviseur de 0)
x=x'
f est alors injective.
Or A est un anneau fini.
Donc f est bijective.
L'élément neutre possède donc un antécédent.
Alors 
xA tel que ax=1
(petite question : est-ce qu'il s'agit du même x que précédemment? Sinon devrais je le nommer autrement?)
Nous savons que A est commutatif d'où ax=xa
Ainsi ax=xa=1
Tout élément aA qui n'est pas diviseur de0 est donc inversible.
Ensuite je devais en déduire que tout anneau intègre fini est un corps (et c'est la que je ne suis pas sure que la justification soit suffisante)
D'après la question précédente un anneau intègre fini est inversible. Ainsi tout anneau intègre fini est un corps
Je sais, mon post est un peu long, mais je voulais faire les choses bien
est ce que quelqu'un pourrait me dire si ce que j'ai fait est correct s'il vous plait
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