Bonsoir.

Où bloques-tu ?

a) Montre que l'ensemble est un idéal.

b) On a clairement et d'après la question a), donc a et b sont des multiples de d.

c) Montre que c divise d.

d) Une manière de faire est de déterminer tous les diviseurs de et . Il y a peut-être plus court, mais ici c'est pas très long. Remarque que si divise dans , alors divise dans , ça va limiter le nombre de cas à examiner. De plus, on peut travailler à un élément inversible près ( et ), ce qui réduit encore plus le problème.

a) ok j´ai montré que c´est un idéal...mais pourquoi cela implique l´existence d´un d?

c) je prends un b´ et un a´ tel que
b= b´c
a= a´c
et comme a= dx et b= dy
je trouve
dx = a´c
dy = b´c

d) est-ce qu´on peut dire que là aussi il existe un d t.q. ...
et puis poser a= 1+2i et b= 1-2i

Vous voyez? utiliser les questions précédentes?!

Car je comprends pas très bien votre méthode

mais pourquoi cela implique l´existence d´un d
Relis la définition d'anneau "principal" ...

Pour la c, tu as donc montré que tous les diviseurs communs de a et b divisent d, donc d est le pgcd de a et b.

Pour la d), on te demande de calculer le pgcd de 1+2i et 1-2i, ce que je te propose, c'est de calculer tous les diviseurs de 1+2i et 1-2i, de voir quels sont les diviseurs communs, et de prendre "le plus grand".

Oui vous avez raison, je l´ai vu ...

mais pour la d)

dans la c) on montre qu´un tel d est le pgcd de a et de b

est-ce qu´on peut pas utiliser cela? poser a= 1+2i et b=1-2i ? et puis vérifier que d= 1?

On peut faire aussi comme ça :

Si d est le pgcd de et , alors divise dans .
Donc divise 5, et comme 5 est premier, c'est aussi un élément irréductible de , et donc ou . (à une multiplication par une unité près)
ne convient pas, car doit diviser , par conséquent .

Ok

merci beaucoup

De rien, bonne soirée.