Salut,
<x^3+x+1> est il maximal ?

Il me semble que oui ...

p(x)=x^3+x+1 n'a pas de racine entière car 3x^2+1 >0 et que si p(-1)=-1 et p(0)=1.

Donc <p(x)> doit être maximal, non ?

Sauf erreur.

Bonjour otto,

je suis ok que n'a pas de racines entière, ni rationnelle,
mais pourquoi le fait que n'a pas de racines dans entraîne que est maximal dans ?

Bonjour,
L'equivalence primalité, irréductibilité, maximalité n'est vrai que pour un anneau principal. Z[X] n'est pas principal, car sinon Z serait un corps.
Donc ici, le raisonnement d'otto ne prouve pas la maximalité.
D'allieurs il me semble que ce ce n'est pas un corps...
Par exemple si 3 était innversible alors on aurait l'existence d'un P dans Z[X], tel que 3P=1, en prenant la valeur de P en 4 on trouver 3P(4)=1 [69] ce qui prouve que 3 est inversible mod 69, ce qui n'est pas le cas...
Donc ce n'est pas un corps...(Ce polynome est penible il prend comme valeurs des nombres premiers sur -3,-2,-1,1,2,3 et vaut 1 en 0....ce qui explique le P(4))

Je vois, merci Rodrigo