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Anneau Z/2^kZ
Bonjour,
j'ai des problèmes avec cette exercice, si quelqu'un peut me donner des indices
s'il vous plaît.
1- Quand est ce que la classe $m+nZ$ engendre t-elle le groupe additif $Z/nZ$ ? Et quand est-ce qu'elle est inversible dans l'anneau $Z/nZ$ ?
2- On se place maintenant dans l'anneau $Z/2^4Z$
a) Déterminer les idéaux de $Z/2^4Z$, puis les idéaux maximaux de $Z/2^4Z$.
b) Déterminer les homomorphismes de groupes puis d'anneaux de $Z_8$ dans $Z_{16}$.
c) Quel est l'ordre du sous-groupe $U(Z/2^4Z)$ des élément inversibles de $Z/2^4Z$.
d) Préciser les ordres des classes $5+2^4Z$ et $-1+2^4Z$ dans $U(Z/2^4Z)$.
e) Le sous-groupe $U(Z/2^4Z)$ est-il cyclique ? ( Est-il abélien ? Si oui, peut être isomorphe à $Z/2^3Z$ ? Ou à $(Z/2^2Z) \times (Z/2Z)$ ? Ou à préciser l'isomorphisme.
f) Déterminer les idéaux maximaux de $Z$. Parmi ces derniers, quels sont ceux qui contiennent $2^4Z$. Comparer avec le résultat de la question a). Que conclure ?
3- On se place dorénavant dans l'anneau $Z/2^kZ$, où $, $k>2.
a) En tant que groupe additif est ce que $Z/2^kZ$ est cyclique ? Si oui, détérminer un générateur, puis le nombre possible de générateurs.
b) Les classes et
sont-elles inversibles pour la multiplication ?
c) Expliquer pourquoi mod
, puis déduire que
.
Expliquer pourquoi l'ordre de la classe $5+2^kZ$ est de la forme $2^n$ où $n$ est un entier positif ou égal à $k-1$. Montrer alors que $n=k-2$.
Merci beaucoup pour votre aide
Bonjour
Pour 1: essaye de montrer que la classe de m engendre Z/nZ si et seulement si m et n sont premiers entre eux.
2) Les idéaux de Z/16Z sont ses sous-groupes additifs.
Je ne sais pas comment t'aider sans faire ton exo qui est très instructif, justement parce qu'il oblige à un peu de manipulation! Alors, essaye, fais des propositions et je t'aiderai!
la classe de m engendre Z/nZ si et seulement m et n sont premiers entre eux parce que la classe de m et d'ordre n.
2) les idéaux de Z/16Z sont de la forme kZ/16Z mais pour les idéaux maximaux ?
Je viens de voir que tu es nouveau (ou nouvelle) alors bienvenue sur l'
.
C'est vrai que m est d'ordre (additif) n si et seulement si m et n sont premiers entre eux. Si tu l'as dans le cours c'est OK, mais si ce n'est pas le cas, il faut le démontrer!
Alors, déjà tu sais que si k est premier avec 16 (c'est-à-dire impair), kZ/16Z=Z/16Z, donc pour eux la question ne se pose pas!
Par ailleurs, si 2k divise 2k', on a donc aussi
. Alors quels sont les maximaux?
l'idéal est maximal si 2k divise tout les 2k' tel que k et k' appartiennent à Z je crois que c'est 2Z/16Z
et si on suppose qu'il existe un autre 2k'Z/16Z maximal alors il appartient a 2Z/16Z ce qui prouve qu'il n'est pas maximal
Hmm c'est égale à 2Z/12Z.
c'est le cas aussi pour 10Z/16Z et 14Z/16Z 
là je comprend plus pourquoi, ce qui est commun entre 6 et 10 et 14 c'est que leurs ppdc avec 16 est égale à 2.
Eh, oui! Cette fois tu as les maximaux! Tu vois que ça valait le coup de regarder!
Bon, vas-y, continue les questions suivantes!
pour les homomorphismes je n'ai aucune idée, j'aimerais comprendre pourquoi 2Z/16Z = 6Z/16Z = 10Z/16Z = 14Z/16Z ?
Soit p un nombre premier. Alors le pgcd de 16 et de 2p est 2, donc il existe u et v tels que 2=16u+2pv ce qui montre que 2 est congru modulo 16 à (2p)v donc la classe de 2 appartient à 2pZ/16Z, donc , l'autre inclusion étant évidente!
Pour les morphismes de groupes, rappelle-toi qu'il faut connaitre l'image du générateur 1 de Z/8Z et qu'il faut tenir compte du fait que dans Z/8Z, on 8\times 1=0. En revanche pour des anneaux on doit avoir f(1)=1.
1 est générateur de Z/8Z soit f un homomorphisme de groupe de Z/8Z dans Z/16Z
alors f(1) est générateur de Z/16Z
et comme Z/16Z a 8 générateur donc il existe 8 homomorphisme de groupe au plus :
f_1(1)=1; donc f_1(8 x 1) = 8 x 1 donc f_1(0) = 8 f_2 n'est pas un homomorphisme.
f_2(1)=3; donc f_2(8 x 1) = 8 x 3 donc f_2(0) = 8 f_2 n'est pas un homomorphisme.
f_3(1)=5; donc f_3(8 x 1) = 8 x 5 donc f_2(0) = 8 f_2 n'est pas un homomorphisme.
et ainsi pour les autres , donc il n'y a pas d'homomorphisme de groupe de Z/8Z dans Z/16Z.
f_4(1)=7;
f_5(1)=9;
f_6(1)=11;
f_7(1)=13;
f_8(1)=15;
dans un homomorphisme de groupe f(0) = 0
f(x-x) = f(x)-f(x) = 0
pour les anneux il existe un seul homomorphisme c'est f(1)=1.
Mais si, mais si! Des morphismes additifs il y en a! Tous les f(1)=2k marchent! Il n'y a aucune raison pour que f(1) soit un générateur de Z/16Z. Ca veut simplement dire qu'il n'y a pas de morphisme surjectif ce qui n'est pas étonnant vu que l'ensemble de départ à moins d'éléments que celui d'arrivée!
Ah d'accord alors f est un morphisme donc si f(1) = x alors f(8) = 8x = 0 donc x = 2k
donc f_1(1) = 0;f_2(1) = 2;f_3(1) = 4;f_4(1) = 6;f_5(1) = 8;f_6(1) = 10;f_7(1) = 12;f_8(1) = 14 sont tous des morphismes de groupes.
un morphisme d'anneaux est un morphisme de groupe déjà et puis f(1) = 1, donc il n'existe pas de morphisme d'anneaux de Z/8Z dans Z/16Z
OK! Là, je vais m'en aller, mais continue, quelqu'un d'autre prendra la relève, où je verrais la suite demain!
c)U(Z/16Z) est d'ordre 8, il y a 8 nombres premiers avec 16 et inférieures a 16.
d)l'ordre de la classe 5 est 4 et l'ordre de la classe -1 est 2.
e) U(Z/16Z) n'est pas cyclique mais il est abélien, pour les isomorphismes je ne sais pas comment faire.
Bonjour,
j'ai calculé l'odre de tout les éléments de U(Z/16Z):
o(1) = 1, o(7)=o(9)=o(15) = 2 , o(3)=o(5)=o(11)=o(13)=4
donc U(Z/16Z) ne peut pas etre isomorphe à Z/8Z car aucun élément n'est d'ordre 8.
dans il n'a aucun élément d'ordre 4, donc U(Z/16Z) ne peut pas etre isomorphe à
pour on a: o(0,0) = 1 , o(0,1)=o(2,0)=o(2,1) = 2
et o(1,0)=o(1,1)=o(3,1)=o(3,0)=4 donc il peut être isomorphe à U(Z/16Z)
après les calculs j'ai trouvé cet isomorphisme:
f(1)=(0,0),f(3)=(3,1),f(5)=(3,0),f(7)=(2,1),f(9)=(2,0),f(11)=(1,1),f(13)=(1,0),f(15)=(0,1).
oh t enfin revenue pour me sauver
re Bonjour Camélia
les idéaux maximaux de Z sont de formes pZ tel que p est premier parce que si alors k divise p donc k=p.
les idéaux maximaux qui contiennent 16Z c'est 2Z (Comparer le resultat avec a) et conclure.) je sais pas ce qu'il faut conclure.
3-a) Z/2^kZ est cyclique 1 est un générateur, le nombre de générateur c'est 2^{k-1} (opérateur d'Euler)
b) la classe de 5 et la classe de -1 qui est la classe de (2^k - 1) toutes les 2 sont inversibles car 5 et (2^k - 1) sont premiers avec 2^k
c) puisque la classe de 5 est inversible donc qui est d'ordre 2^{k-1} donc
donc
pour la derniere question j'ai pas pu resoudre.
Bon, ce que l'on sait c'est que l'image réciproque d'un idéal maximal par une fonction surjective est un idéal maximal. Donc l'histoire des 2Z maximaux dans les deux cas est cohérente. (Enfin, je suppose que c'est ce au'ils attendent)
3)a) OK
b) OK
c) Il fallait montrer que modulo 25? Quelque chose me trouble dans l'énoncé...
Non c'est juste une faute il faut montrer que modulo
.
pour la question avant 3-a) tu as une idée de ce qu'on peut conclure ?
Merci
Bon, c'est vrai que dans un groupe d'ordre tout élément élevé à la puissance
vaut 1. Par ailleurs, l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe, donc c'est forcémént une puissance de 2. Ensuite, pour montrer que 5 est d'ordre
je ne vois pas ce que l'énoncé attend. Moi je sais le faire de manière différente.
La méthode que je connais (Demazure, Cours d'Algèbre Cassini):
Pour . On commence par regarder le sous-groupe G de
formé des classes z de nombres congrus à 1 modulo 4. Comme tout élément s'écrit
z, on voit que U est isomorphe à , donc G est un groupe d'ordre
Comme 5 est dans G, on a
Ensuite, on montre par récurrence sur k que ce qui prouve que 5 n'est pas d'ordre strictement plus petit que
.
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