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anneauet polynôme
Salut 
Je note A* l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau commutattif et intègre A.
En cours, nous avons montré que : (A[X])*=A*
Bon l'une des inclusions est évidente.
Pour l'autre :
Soit P(X) dans A[x]*
On a montré que forcément P(x)=constante
Pôurquoi cela implique-t-il que P(X) est dans A*
Tout élément n'est pas inversible dans un anneau ...
Je sais aussi que l'application f da A dans A[X] qui à a associe la suite bn telle que b_0=a et pour n>0, bn=0, est un homomorphisme injectif d'anneaux?
Faut-il se servir de ceci.
Merci d'avance pour vos réponses et bonne soirée
bonjour,
ben tu l'as dit tout polynome inversible est necessairement une constante....inversible...donc dans A*
Salut FF,
tu as montré que (et de même pour son inverse dans
,
),
comme on a déjà la relation dans
, on l'a toujours dans
, ce qui permet de conclure.
Salut romu
ok on a toujours la relation dans A donc P(X) est dans A*
Mais en fait je demandais pourquoi toute constante est inversible ?
Je sais pas ça me paraît pas naturel dans un anneau A quelconque ...
fusionfroide -> On cherche les P inversibles dans A[X]. On montre facilement que P est une constante, et comme on a supposé P inversible, P est donc une constante ... inversible (car pour une constante, être inversible dans A[X] ou dans A c'est la même chose)
Mais bien sûr toutes les constantes ne sont pas inversibles, c'est juste qu'on veut P inversible donc on ne garde que les inversibles.
Fractal 
> Ayoub NON!
A tous: Je trouve que dans toutes vos démonstrations vous n'avez pas assez insisté sur le fait que A est intègre
Par exemple si A=Z/4Z, le polynôme non constant 1+2X est inversible!
Coucou H_aldnoer
C'est vrai que je préfère l'algèbre; mais surtout, les derniers temps tu es rentré dans des eaux trop profondes pour moi... (métaphore ilienne, bien sûr)!
Un 'ti up de topic pour la question de Camélia.
Camélia >> Juste pour savoir si je gèle ou si je suis carrément congelé. 
On procède par l'absurde, on suppose donc que A n'est pas un corps.
A est principal, donc factoriel. Etant donné un irréductible, disons p, on considère des polynômes judicieux dont au moins l'un es unitaire (bien choisis mais je sais pas qui encore). Reste à démontrer que l'idéal est engendré par un polynôme dont le coef dominant est p. Ce qui prouvera que ce dernier est inversible.
On pourra donc conclure.
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