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Anneaux et corps commutatif
Bonsoir, on nous a donné un exercice facultatif pour s' entraîner et j' ai un peu de mal.
Soit E l' ensemble des nombres reels qui peuvent etre ecrits sous la forme p +
ou p et q sont des éléments de Z.
1) montrer que est irrationnel ----> simple, j' ai fait xD
2) Montrer que l' application f de Z vers E définie par f((p,q))=p + q pour tout élément (p,q) de Z est une bijection de Z vers E.
3) Montrer que l' addition de R peut être restreinte à E et que pour cette opération E est un groupe abélien.
4) Montrer que la multiplication de R peut être restreinte à E et que pour l' addition et la multiplication E est un anneau commutatif intègre.
Voilà je bloque, pouvez vous m' aider svp =)
bonsoir
a + b \sqrt 2
en latex ça donne:
à p, q on associe
c'est ça ?
bijective ?
il faut rendre ça rigoureux...
a- injective: p
<=> \sqrt 2 = (p-a)/(b-q) impossible car racine de 2 irrationnel....
b- surjective: évident
2- que signifie la question?
l'addition dans e est la restriction de l'addition dans IR ?
on a un sous groupe additif de IR , c'est assez simple...
etc....
Oui désole, j'avais compris mais je pensais que tu disais que comme racine de 2 est irrationnel c est pas injectif xD Je sais pas ou j avais la tête xD
Après, je sais ce que sont les groupes abéliens, les anneaux Intègres,.. mais j ai du mal a démontrer, surtout a démarrer :/
Pour l'addition:
on prend 2 éléments z et z' de E,
on montre que z+ z' appartient à e et que l'opposé de z est dans E...
on en déduit que e est un sous groupe de R....
(on pourrait aller plus vite en montrant que z-z' est dans E)
pour le sous anneau
il faut montrer en plus que si z et z' sont dans E alors z*z' est dans E
Meme si j'ai les petites idées, je bloque un peu.
Si on pouvait juste un peu le détailler la rédaction pour la 3) ça m'aiderai, notamment pour la 4). Merci d'avance.
bonjour:
désolé, hier soir je n'étais plus là....
voila comment j'aurais rédigé....
Pour l'addition: On montre que E est un sous-groupe de R
E est non vide et E est inclus dans R
on prend 2 éléments z et z' de E,
pour simplifier, posons racine de 2 = r.
z = a + br
z' = a' + b'r
z-z' = (a-a') + (b-b')r appartient à E
donc (E;+) est un sous groupe de (R,+)....
Puisque (R,+) est un groupe abélien, on déduit que (E,+) est abélien
Bonjour, merci d' avoir répondu.
Pour la 3) il faut montrer que l' opposé de z est dans E aussi, non ?
démontrer avec z-z' c' est pareil qu' avec z+z' ?
Sinon j' ai deux dernières questions que j' aimerais aussi faire.
5) Montrer que pour qu' un élément p+ /sqrt2 ait un iverse(pour la multiplication), il faut et il suffit que p2 - 2q2 = 1 ou p2 - 2q2 = -1.
(Comment faire ?)
6) E est il un corps commutatif ?
Merci d' avance.
Oui, z-z' dans E c'est pareil
(car z-z = 0) donc 0 dans E et 0-z est dans E...
pour la 5) oui, c'est ça
z inversible = p + rq
soit z' l'inverse = p'+rq'
on a: (p+rq)(p'+rq') = 1
donc (pp'+2qq') + r(pq'+p'q)= 1+0r
donc
pp'+2qq'=1 (1) p et q entiers relatifs
et
pq'+q'p=0 (2)
on trouve assez facilement que p² - 2q²=1 ou -1
par exemple (1) nous dit que p et q premiers entre eux
etc...
p et q premier entre eux
pq' = p'q
donc p est un diviseur de p'q et p premier avec p' donc p est un diviseur de q.......
est-ce clair?
pour faire la démonstration, c'est une façon...
désolé, je me suis mal exprimé, je ne vois pas en quoi ca nous aide après a démontrer ce qu' il faut..
E n'est pas un corps.....
car par exemple 2 n'est pas inversible dans E
E est un anneau commutatif intègre....
on pourrait démontrer mais c'est pas simple, que les éléments de E inversibles sont les éléments a+ br où a²-2b²=1 ou -1.....
ils sont de la forme (3+2r)^n n entier relatif
ou leurs opposés......
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pour la 5, il faut utiliser ce que j'ai écrit.....mais j'ai fait une erreur
p et q premier entre eux
pq' = p'q
donc p est un diviseur de p'q et p premier avec p' donc p est un diviseur de p'.......
ensuite on montre que p' est un diviseur de p
pour finir on montre p=p' et q'=-q donc p²-2q²=1
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