Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Anneaux et corps Z/nZ

Posté par
yacquee 17-01-24 à 18:15

Bonjour les mathématiciens du 21 ème siècle.
Aujourd'hui j'ai essayer de revoir mon cours de Anneaux et corps.
Et je bloque sur plusieurs point notamment L'ensemble (Z/nZ,+ ou x) n'a jamais été évident a comprendre .
Si quelqu'un a des astuces pour approcher les exercies avec Z/nZ je suis prenneur.
Finalement voici la partie du cours ou je bloque en ce moment.

Merci a quiconque qui aura envisager de m'aider.

-yacque

Anneaux et corps Z/nZ

Posté par re : Anneaux et corps Z/nZ 17-01-24 à 19:43

salut

il n'y a pas d'astuce il y a à comprendre ce que signifie l'ensemble Z/nZ

récitons la table de 3 dans Z (enfin dans N) : 0, 3, 6, 9, ...
ensuite ben on ajoute 1 : 1, 4, 7, 10, ...
puis ensuite on ajoute 2 : 2, 5, 8, 11, ...

on décrit ainsi tous les éléments de N et on voit qu'il y a trois cas :

les nombres entiers de la forme : 0 + 3k, 1 + 3k et 2 + 3k ...

et on voit que par exemple : (0 + 3m) + (1 + 3n) = 1 + 3(m + n)

ou encore : (1 + 3m) * (2 + 3n) = 2 + 3(...)

ce qui donne bien les tables d'opérations + et * ....

Posté par re : Anneaux et corps Z/nZ 17-01-24 à 22:46

Merci bien .

Posté par re : Anneaux et corps Z/nZ 18-01-24 à 00:39

Quand on prend n'importe quel entier $m$ , on peut réaliser sa division euclidienne par $n$ .
Alors on sait que le reste de cette division euclidienne appartient à l'ensemble $[\![0,n-1]\!]$ .

On note alors $\overline{0}$ l'ensemble de tous les entiers dont le reste dans leur division euclidienne par $n$ est $0$ , $\overline{1}$ l'ensemble de tous les entiers dont le reste dans leur division euclidienne par $n$ est $1$ , $\overline{2}$ l'ensemble de tous les entiers dont le reste dans leur division euclidienne par $n$ est $2$ , ..., et $\overline{n-1}$ l'ensemble de tous les entiers dont le reste dans leur division euclidienne par $n$ est $n-1$ .

Ce qui veut dire que pour tous $a,b\in\overline{2}$ par exemple, et bien $a$ et $b$ sont "égaux" à un multiple de $n$ près, et ils ont tous les deux 2 comme reste dans leur division euclidienne par $n$

Si tu as fais Maths expertes en terminale, tu as dû travailler "avec des modulos". On écrit par exemple que $a\equiv b [n]$ si et seulement si n est un diviseur de $a-b$ (ce qui signifie qu'ils sont égaux à un multiple de n près) ou, de manière équivalente, que $a$ et $b$ ont le même reste dans leur division euclidienne par $n$ .
Par exemple $27\equiv 3 [6]$ .

Ces ensembles, que l'on appelle les classes modulo n, sont les éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . Autrement dit : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\dots,\overline{n-1}\}$ .

On peut alors se demander si l'on peut munir $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ de deux opérations $\widetilde{+}$ et $\widetilde{\times}$ qui seraient héritées des opérations usuelles $+$ et $\times$ sur $\mathbb{Z}$ .

Et la réponse est oui : on sait que la relation de congruence " $\equiv$ " est compatible avec l'addition et la multiplication usuelle dans $\mathbb{Z}$ , c'est-à-dire que : Si $a\equiv b [n]$ et $c\equiv d [n]$ , alors
1. $a+c\equiv b+d [n]$ ,
2. $a\times c\equiv b\times d [n]$

Ce que ça veut dire, c'est qu'on peut définir sans ambiguïté $\overline{a}\widetilde{+}\overline{b}:=\overline{a+b}$ et $\overline{a}\widetilde{\times}\overline{b}:=\overline{a\times b}$

Comme cette définition est naturelle, on notera simplement $+$ et $\times$ l'addition et la multiplication dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

La théorie des groupes et des anneaux se motive historiquement par l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . Quand tu feras de la théorie des groupes et des anneaux, et notamment lorsque tu travailleras sur les notions de sous-groupes distingués (ou normaux) et d'idéal d'un anneau, tu retrouveras ces résultats dans un cadre plus général.

Bref, en pratique, comment tu fais ?

Exemple tout bête : Je me place dans $\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ :

$\overline{12}+\overline{5}=\overline{12+5}=\overline{17}=\overline{4}$
(17 et 4 sont égaux, à un multiple de 13 près...).

$\overline{7}\times\overline{8}=\overline{7\times 8}=\overline{56}=\overline{4}$ (car 56=4x13+4, donc 56 et 4 sont égaux, à un multiple de 13 près).

Par exemple, les tables dans $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ sont :

$\\ \begin{array}{c|ccccc} \\ +&\overline{0}&\overline{1}&\overline{2}&\overline{3}&\overline{4}\\ \\ \hline \\ \overline{0}&\overline{0}&\overline{1}&\overline{2}&\overline{3}&\overline{4}\\ \\ \overline{1}&\overline{1}&\overline{2}&\overline{3}&\overline{4}&\overline{0}\\ \\ \overline{2}&\overline{2}&\overline{3}&\overline{4}&\overline{0}&\overline{1}\\ \\ \overline{3}&\overline{3}&\overline{4}&\overline{0}&\overline{1}&\overline{2}\\ \\ \overline{4}&\overline{4}&\overline{0}&\overline{1}&\overline{2}&\overline{3}\\ \\ \end{array} \\$
et
$\\ \begin{array}{c|ccccc} \\ \times&\overline{0}&\overline{1}&\overline{2}&\overline{3}&\overline{4}\\ \\ \hline \\ \overline{0}&\overline{0}&\overline{0}&\overline{0}&\overline{0}&\overline{0}\\ \\ \overline{1}&\overline{0}&\overline{1}&\overline{2}&\overline{3}&\overline{4}\\ \\ \overline{2}&\overline{0}&\overline{2}&\overline{4}&\overline{1}&\overline{3}\\ \\ \overline{3}&\overline{0}&\overline{3}&\overline{1}&\overline{4}&\overline{2}\\ \\ \overline{4}&\overline{0}&\overline{4}&\overline{3}&\overline{2}&\overline{1}\\ \\ \end{array} \\$

En effet, on va avoir, par exemple : $\overline{3}+\overline{3}=\overline{3+3}=\overline{6}=\overline{1}$ (car 6 est égal à 1, à un multiple de 5 près), et
$\overline{3}\times\overline{4}=\overline{3\times 4}=\overline{12}=\overline{2}$ (car 12 est égal à 2, à un multiple de 5 près).

(Relecture non faite, désolé pour les coquilles éventuelles)

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