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anneaux nilpotents
bonjour, j'ai un petit souci avec un exercice sur les anneaux.
soit (A,+,*) un anneau. on dit que x 
A est nilpotent 
n
/ xn=0.
1. montrer que: x nilpotent 
(1-x) inversible
2. montrer que: x,y nilpotents et commutent xy et x+y nilpotents.
3. un corps admet-il des éléments nilpotents?
pour la 1ere question, je passe par l'égalité 1= (1-x) + x
et j'élève à la puissance n. ensuite je développe avec le binome de Newton , puis je factorise par 1-x. et je trouve que: 1=(1-x)b.
d'où la conclusion.
pour la 2eme question.
je dis que xnym=0 xn+mym+n=0 (x+y)n+m
d'où la conclusion.
pour x+y j'ai plus de mal. au départ, j'ai calculé (x+y)n et avec le binome de Newton, on remarque que les termes extremes se simplifient. mais je n'arrive pas à conclure pour les éléments au centre du developpement.
si quelqu'un a des idées, merci de m'aider.
Bonjour
D'abord si , on a
d'où l'inversibilité de manière plus rapide.
Pour x+y calcule avec le binôme et convaincs toi que tous les termes de la somme sont nuls.
Bien sur qu'un corps a un seul élément nilpotent: 0
Pour rajouter mon grain de sel...
Pour ta question 2), ce que t'as fait n'est pas vraiment correct: les équivalences sont fausses. On a seulement des implications, mais c'est pas un problème vu qu'on a besoin uniquement de celle qui sont vraies.
oui effectivement Schumi, pour la dernière équivalence c'est (xy)n+m
je me suis trompée en écrivant.
merci Camélia. j'ai réessayé avec le binome de Newton et j'obtiens une condition sur k, l'indice que je fais varier.
si k
n n+m-k
m donc le terme en y s'annule
si kn le terme en x s'annule.
donc la somme de Newton s'annule et j'ai bien (x+y)n+m=0
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