Bonjour,

<= Si les images par f de tous les éléments d'une classe selon E sont toutes dans une même classe selon F, alors on peut poser, pour tout x dans E:

phi(x^)= (f(x))$ , en notant x^ la classe de x dans E, et y$ la classe de y dans F.

En effet, la classe dans F de l'image f(x) de x ne dépend pas de x, mais que de sa classe dans E par hypothèse (compatibilité).

Cela s'écrit bien phi o p = q o f, et le diagramme est commutatif.


=> S'il existe phi tel que le diagramme soit commutatif, il faut démontrer que pour tous x et y d'une même classe x^ de E, f(x) et f(y) sont dans une même classe de F.

Or:

f(x)$ = qof(x) = phi o p(x) est une classe de F

f(y)$ = qof(y) = phi o p(y) est la même classe de F, puisque p(x) = p(y) par hypothèse.

Ainsi, f(x)$ = f(y)$ et on a bien prouvé que f était compatible avec les deux relations d'équivalence.


Unicité de phi: triviale puisque pour toute autre telle application phi' on doit avoir pour tout x de E:

phi'(x^) = f(x)$ = phi(x^), d'où phi' = phi.

ok à première vue rien ne m'est incompris.

je regarde cela de plus près ...

merci bien

Je t'en prie.