Niveau Licence Maths 1e ann

appartenance à Q

Posté par
ADELINE35131 10-12-09 à 14:30

Bonjour, je ne sais pas commment faire cet exercice:
Montrer que, quelque soit n entier positif non nul, le nombre racine(n/n+2) n'appartient pas à Q. On distinguera le cas où n est pair et celui où n est impair.

Posté par re : appartenance à Q 10-12-09 à 14:40

Bonjour

On suppose que $\sqrt{\frac{n}{n+2}}=\frac{p}{q}$ avec p, q entiers strictements positifs. Elève au carré et regarde pourquoi c'est impossible!

Posté par re : appartenance à Q 10-12-09 à 14:47

donc ca fait (n/n+2)=p²/q² cela equivaut a dire que n*q²=(n+2)*p² mais je ne vois pas quesquil faut faire

Posté par re : appartenance à Q 10-12-09 à 15:08

$n(q^2-p^2)=2p^2$

$q^2-p^2=(q+p)(q-p)$ et q+p et q-p sont de même parité.

Cas n impair: 2 divise $(q+p)(q-p)$ d'où q+p et q-p sont tous les deux pairs. Il en résulte que $q^2-p^2$ est divisible par 4. Mais alors 2 divise p et q+p, donc 2 divise aussi q ce qui est contradictoire.

Cas n pair: n=2k. Si k=1, on est dans le cas classique qui figure partout! Supposons $k\neq 1$ . Alors $k(q^2-p^2)=p^2$ , donc $kq^2=(k+1)p^2$ . Or k ne peut pas être un carré, puisque dans ce cas k+1 ne l'est pas. Il existe donc un diviseur premier m de k qui figure dans k à une puissance impaire. Mais alors, puisque m ne divise pas k+1, m divise p et m figure à une puissance paire dans $(k+1)p^2$ . Il en résulte que q est divisible par m ce qui est exclu.

Posté par appartenance a Q 11-12-09 à 08:18

Merci,j'ai mieux compris à travers ces reponses

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