Inscription / Connexion Nouveau Sujet
application bilinéaire différentiable
Bonjour
L´exo est le suivant:
Soient E,F,G 3 e.v.n. de dim finie et soit B: ExF -> G une application bilinéaire
a) M.q. B est dérivable en tout point et calculer sa différentielle
Pour x,h E et y,k
F, on précisera à quel espace appartient B´(x,y)
et on donnera l´expression de B´(x,y)(h,k)
b) Montrer que B est 3 fois dérivable en tout point et donner sa différentielle seconde et troisième!
On précisera à quel espace respectifs appartiennent B´´(x,y) et B´´´(x,y)
c) Montrer qu´en fait B est de classe C(infini) en calculant toutes les différentielles d´ordre >=4 de B
a) J´ai calculé
B((x,y)+(h,k)) = B(x+h,y+k)
= B(x,y) + B(x,k) + B(h,y) + B(h,k)
donc B((x,y)+(h,k))- B(x,y)= B(x,k) + B(h,y) + B(h,k)
B(x,k) + B(h,y) est linéaire et donc B´(x,y)(h,k)= B(x,k) + B(h,y)
B(h,k) est le reste
B´(x,y): ExF -> G ???
au moment je me demande cette question et aussi pour B´´ doit-on travailler avec les dérivévés partielles secondes?
Merci d´avance pour votre aide
"B(x,k) + B(h,y) est linéaire " n'a pas de sens. Qui "bouge" ? x ? ...
Tu ne pourras t'en sortir qu'en faisant des "raisonnements" propres et corrects.
Pour le a) On désignera par p la norme de E , par q la norme de F et par r celle de H et on mettra sur E 
F la normme N : (x,y) 
((p(x))2 + (q(y))2)1/2 (Il en faut une et comme elles sont toutes équivalentes...)
Soit (x,y) 
E F. Pour tout (s , t) E F on a : B((x,y) + (s,t)) = B(x,y) + B(x,t) + B(s,y) + B(s,t).
Soit f(x,y) : E F 
G qui à (s,t) associe B(x,t) + B(s,y) .
f(x,y) est linéaire (à voir en faisant une démonstration propre : c'est pour toi!). Reste à voir si R : (s,t) B(s,t) est un o(N(s,t)) autrement dit que B(s,t)/N(s,t) tend vers 0 quand (s,t) tend vers (0,0) en restant dans (E F) \ {(0,0)} pour pouvoir affirmer (avec raison) que B est différentiable en (x,y) et que sa fifférentielle (notée dB(x,y) ou DB(x,y) ou B'(x,y)) y vaut f(x,y).
Puisque E et F sont supposés être de dimensions finies, B est continue (Il existe C réel tel que r(B(s,t)) 
C.p(s)q(t) pour tout (s,t)).
Alors r(B(s,t)) (C/2)(N(s,t))2) et donc B est différentiable au point (x,y) et sa fifférentielle B'(x,y) =f[sub](x,y).
A ce stade on a une application B' de E F dans L(EF , G) . La différentiabilité de B' se pose ...etc...
Comme le remarque oliveiro B' est linéaire .
Calcule l'image de (u,v) par B'(
(x,y) + 
(s,t))) et par B'(x,y) + B'(s,t).
Il en résulte que B' est différentiable partout et que sa fifférentielle vaut (partout) elle même. B'' L(EF,L(EF))
B''(x,y) = B' pour tout (x,y) de EF.
et alors B''' existe partout est vaut 0.
B'''(x,y) L(EF , L(EF,L(EF)) pour tout (x,y) de EF
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac