Bonjour H_aldnoer

Ce lemme montre que dans ce cas, quitte à remplacer L par N qui lui est isomorphe, on peut considérer que K est un sous-corps de L. Par exemple, quand on dit que tous les corps finis de caractéristique p ont "la même" cloture algébrique on utilise ce lemme.

Je suis télépathe, tu ne savais pas?

Sérieusement, c'est exactement le genre de résultat qui a nécessité la mise en place de ce lemme!

alors mis à part dans cette optique, ce lemme n'est pas utile ?
je ne le vois dans aucune application concrète c'est pour ça que je dis ça.

Si tu veux, mais c'est quand même utile de savoir que la cloture algébrique de est la même que celle de . Il y a d'autres applications, mais toujours dans le même esprit. Par exemple des histoires de corps de rupture et de corps de décomposition.

J'ai pas compris pour le coup comment tu utilise ce lemme pour affirmer que et ont la même cloture algébrique.

Je note la cloture algébrique de K. On a

. Donc

Par ailleurs, est un corps qui contient toutes les racines du polynôme X²⁴³-1 à coefficients dans . Il existe donc une injection de dans et ton lemme assure l'existence d'un corps N isomorphe à qui contient . Seulement, est le plus petit corps algébriquement clos qui contient , donc il est contenu dans N. De tout ça tu fabriques un isomorphisme entre les deux clotures, que l'on s'empresse d'identifier!

ça signifie bien que si est racine de alors est aussi racine de ?

Si oui je ne le vois pas!
Il dois surement y avoir une factorisation de Q par P que je ne vois pas.

A nouveau ça dépend comment on fait les identifications. Dans mon esprit, je voyais justement F₂₄₃ comme extension de degré 4 de F₃, mais ce que tu dis tient aussi la route...

Si je peux me permettre une remarque. Pour les construire les corps finis de cardinal p^s, on se place déja dans une cloture algébrique de Z/pZ, donc il est clair que les sur corps se Z/pZ seront des sous corps de la cloture algébirque de Z/pZ, le seul point qu'il faut montrer c'est que la cloture algébrique des n'est pas plus petite que [tex]\overline{F}_p[\tex] ce qui est trivial

D'abord, 243=3⁵ et non 4...
Ensuite, là aussi ça dépend. Pour moi, et pour ça je n'ai absolument pas besoin de la cloture de

Ceci étant dit, je trouve toute cette discussion très intéressante, car elle permet (même à moi) de prendre conscience à quel point on fait des identifications plus ou moins explicitées.

C'est vrai que c'est une autre définition possible...plus jolie à mon sens...mais bon le choix d'une racine de X²+1 donne deux corps possibles pour F9 (canoniquement isomorphe mais bon.)

Oui, bien sur, et degré plus élevé je peux même avoir plusieurs polynômes irréductibles...

Rebonjour Camélia, désolé j'ai du m'absenter.
J'aimerais comprendre alors comment on trouve une telle factorisation?
Je voudrais aussi savoir pourquoi ?
Pour moi c'est l'ensemble des , a racine de .

Je sais cependant que est un corps est un -ev de dimension 2 (on a donc isomorphe à en tant qu'ev, ce qui est cohérent car on retrouve le même nombre d'éléments à savoir 9)

Ben il est plus qu'isomorphe en tant qu'ev il est isomorphe en tant que corps.

Je ne comprend point ce que tu me dis.

Ben on a un isomorphisme de corps entre F3[X]/X²+1 et F9...

et puis?

Rien c'est tout...

Quel rapport avec ma question?

Y en a pas ...je disais juste que les deux definition de F9 quon avait donné sont equivalentes...
D'ailleurs camélia à repondu à ta question non?

... j'en ai posé une autre.

Ta question était quoi? Pourquoi F3[X]/X²+1 est isomorphe à F9

Il faut relire un peu plus haut ...

Ah ok... 243=3^5 donc si x est racine de X^3-X alors c'est aussi une racine de X^243-X

>H_aldnoer Le polynôme X²+1 est irréductible sur . Il engendre un idéal maximal de l'anneau donc le quotient est un corps. Comme c'est un espace vectoriel de dimension 2 sur , il a bien 9 éléments.

Morale: il y a beaucoup de manières de définir un corps fini. C'est pourquoi on a quelque part démontré que deux corps finis de même cardinal sont isomorphes!