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Application injective
Bonjour,
j'ai un soucis pour répondre aux deux dernières questions de mon exercice :
1) Soient f une application d'un ensemble E vers un ensemble F. Montrer l'équivalence des assertions suivantes :
- Pour tout A et B étant des sous-ensembles de E, f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)
- f est injective
2) Soient A, B, C, D des ensembles, f : A dans B, g : B dans C et h : C dans D des applications. On suppose que g o f et h o g bijectives. Montrer que f, g et h sont bijectives.
Pour la question 1 mon problème principal est de démontrer que f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) implique f injective.
Pour la question 2 j'ai une petite idée.
g o f bijective donc g surjective, f injective et card A = card C
h o g bijective donc h surjective, g injective donc g bijective et card B = card D
Or g bijective donc card B = card C. D'où card A = card B = card C = card D
Donc f, g et h sont bijectives. Voilà globalement ma démonstration pour la question 2.
Merci pour votre aide.
bonsoir:
Pour la question 1 mon problème principal est de démontrer que f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) implique f injective.
soient x et y 2 éléments distincts.
posons A = {x} et B= {y}
f(A ∩ B) =
donc
f(A) ∩ f(B) =
f est injective .
2) Soient A, B, C, D des ensembles, f : A dans B, g : B dans C et h : C dans D des applications. On suppose que g o f et h o g bijectives. Montrer que f, g et h sont bijectives.
il suffit de prouver que g est injective et surjective. et aussi pour les autres fonctions...
injectivité de g: si g(x)=g(y) alors h o g(x)=h o g(y) donc x=y. g est injective.
surjectivité de g: soit y dans C, g o f est bijective, donc il existe x dans A tel que g o f(x)=y
si on note z=f(x), alors g(z)=y
on a montré que g est bijective, après c'est facile de montrer que f et h le sont aussi (g inversible)
g est inversible ?
Tu veux dire que si g o f est bijective et si g est bijective alors f est bijective ?
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