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Application Linéaire
Voilà je suis en plein rattrapage de mon second semestre en license Math Info et je regardais l'anal de l'année dernière et il y a un exercice qui me pose vraiment problème et je serais infiniment reconnaissant si quelqu'un pouvait m'aider alors je vous recopie l'exercice Merci d'avance
Soit l'application linéaire f : R3 dans R3 dont la matrice relativement aux bases canoniques est :
A = ( 1 1 2 )
( 1 -2 -1 )
(-1 0 -1 )
1) Donner une base de Ker f et une base de Im f. Preciser le rang de f.
2) Montrer que (1,0,1),(0,1,1),(0,0,1) est une base de R3.Donner la matrice de f dans cette base
Voila désolé de vous mettre l'exercice en entier mais je lutte vraiment et je n'y arrive pas Merci
Bonjour
Ta matrice est au moins de rang 2 puisque si l'on regarde la sous matrice de taille 2,2 en abs à doite elle est inversible (car de detrminant=-1) ensuite la 3 eme colonne est somme de la première plus la deuxième...
Donc ta matrice est de rang 2. f(e1+e2-e3)=0. Ce qui te donne une base du noyau. f(e1) et f(e2) sont clairement linéairement indépendant donc tu as une base de ton image.
Pour la 2) Je note f1, f2, f3 les vecteurs, on a f3=e3, f1-f3=e1, f2-f3=e2... Donc (f1, f2, f3) est une base de R^3. Et f(f3)=f(e3), f(f1)=f(e1+e3), f(f2)=f(e2+e3)
Voili
MErci beaucoup Rodrigo mais dans ta réponse il y a quelque chose que je ne comprend pas comment je dois ma noter ma base du noyau et de l'image sinon c'est bon merci d'avance
Bonsoir gui_tou.
Moi j'aurai plutot dit f(u)=0... ON est d'accord cela dit ici un simple examen de la matrice permet de s'e sortir assez vite... et surtout sans calcul (donc sans erreur de calcul 
)
Erf je suis encore dans mes ker(f-id) ^^
Oui c'est sûr rien qu'en la regardant on voit que son rang est 2 
La rapidité de ce forum m'impressionne vraiment bravo.
Mais je reprécise ma demande je voulais savoir comment je dois exactement ecrire ma base du noyau et de l'image.
Merci de pardonner mon inculture
Ben, e1+e2-e3 est une base du noyau... Et f(e1), f(e2) est une base de l'image...Tu l'ecris comme tu veux...
Merci j'ai compris et pendant que je vous tient comment fait on d'une manière générale pour trouver la dimension d'un espace vectoriel si c'est pas trop demandé
par exemple la dimension de R3 ??
Merci Rodrigo et Gui-tou
S'il est de dimension finie, on regarde le cardinal de ses bases (elles ont toutes le même cardinal).
Vu qu'une base de R3 est ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)), on a dim R3 = 3.
Une base de est
, on a
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