Bonjour, est ce que tu trouves F+G pour l'image de l'application définie en 1 ?

J'aurai bien du mal à trouver quelque chose vu que je sais même pas comment commencer. Les exo théoriques comme cela j'ai toujours du mal. Donc si tu peux me donner une méthode ça serait bien.

Bah tu peux faire par double inclusion si tu le vois pas directement :
- tu prouves d'abord que F+G inclu dans Im Psi
- tu prouves ensuite Im Psi inclu dans F+G

Je suis désolé mais je sais même pas comment faire ça.
Déjà comment je fais pour montrer que psi est une application linéaire. Je sais qu'il faut que psi soit stable par l'addition et la multiplication donc il me suffit de montrer que (u1+u2,v1+v2) = u1+v1 + u2+v2 et (au,av) = a(u+v). Donc si je me trompe pas ça c'est bon ??

Pour identifier l'image je sais pas comment prouver que F+G est inclu dans Im Psi.

C'est bon pour prouver que c'est une application linéaire

Et Pi Pour F+G inclu dans Im Psi:

Soit x appartenant à F + G alors il existe f appartenant à F et g apparenant à G telle que x = f + g donc x appartenient à Im Psi avec comme antécédant ( f,g )

autre chose : pourquoi on cherche à prouver l'inclusion de F+G alors que dans cette question j'ai FxG ??

bah parce qu'on veut prouver que Im Psi = F + G
comme ImPsi inclu dans F + G et qu'on vient de prouver l'autre inclusion alors Im Psi = F + G

Donc on a identifié l'image de Psi. Donc on a répondu à la question 1

Donc si j'adapte; j'ai pour x appartenant à F+G u qui appartient à F et v qui appartient à G tels que x = u+v appartenant à Im psi avec (u,v) comme antécédent.
Donc là je viens de montrer que F+G est inclu dans Im psi ?? Ca ressemble plus à une définition qu'à une demo.

Donc je tente pour Im Psi inclu dans F+G : si j'ai (x-u,x-v) avec x = u+v, le résulat de l'application donne 2x-u-v = u+v donc Im psi inclu dans F+G ?? (je tente au hasard )

Et donc après ça j'aurai montré que u+v est l'image de psi ??
Donc le fait que j'ai (u,v) appartenant à FxG je m'en sers pas ??

Aie aie aie

Mais Pour prouver que Im PSi inclu dans F + G :

un élement de Im Psi s'écrit de la forme u + v avec u dans F et v dans G
donc il appartient que Im Psi

oups la dernière phrase c'est plutot donc il appartient à F + G

Aie aie aie comme tu dis. Va falloir que j'en fasse des efforts pour ces exo théoriques Donc si j'ai la double iclusion j'ai Im psi = F+G.

OK pour ça.

Pour la question 2, un isomorphisme est une application linéaire donc en gros je fais la même chose que pour la question 1 ?? J'ai Ker psi = {0} et u-u = 0 donc f est bien un isomporphisme sur Ker psi.

Par contre comment déduire de tout ça la formule je vois pas trop. Encore un peu d'aide ?

Merci de me répondre aussi vite

Théorème du Rang : Dim ( FxG) =Dim Ker Psi + Dim Im Psi

or Im Psi = F + G donc Dim Im Psi = Dim F + G

et d'autre part f est un isomorphisme de F inter G sur Ker Psi

Donc ... je te laisse finir

Donc Dim F inter G = Dim Ker Psi
d'où Dim( FxG) = Dim F inter G + Dim F + G
or Dim( FxG) = Dim F + Dim G

d'où ....

Et Sinon un isomorphisme est une application linéaire BIJECTIVE

Je reprendrais ça demain mais merci de ton aide !!!