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Application linéaire
bonjour à tous j'ai une quesiton sur mon DM qui me gène car j'ai plusieurs méthode mais je ne sais pas laquel serait la meilleur. Un peu d'aide serait le bienvenue =D
Soit n
* et (x0,...,xn) une famille de n+1 complexes, deux à deux distincts.
On considère l'application
:
n[X]
n+1
P 
(P(x0),...P(xn)).
1. Montrer que est une application linéaire et injective. En déduire que est bijective. ( On admet que est surjective)
pour l'application linéaire j'ai l'idée d'utiliser le théoréme de la base incomplete et de montrer que c'est une famile génératrice mais bon voila quoi. Injective je veux utiliser la caractéristique d'une famile libre d'une base. En se qui concerne la bijection de je voulais utilsier le théoreme du rang.
Est ce de bonnes méthodes ? 
:?
(désolé de l'orthographe) merci
Bonjour
Pour passer à la bijection au final, les dimensions peuvent t'aider.
Pour démontrer qu'elle est linéaire, utilise la définition ! c'est le plus simple.
Pour l'injectivité, tu as un théorème bien pratique en ce qui concerne les applications linéaires
mm
pr la linéarité j'utilise donc l'image. l'injectivité ok je vois. pour la bijection je sais pas comment parce qu'on la jamais vu.
mais non ! je ne vois pas ce que vient faire l'im() dans la linéarité !!!!
utilise la définition dune "application linéaire"
mm
PS : démontre déjà que c'est linéaire, on parlera de l'injectivité ensuite)
ok ok
donc je pose U=P et V= Q OU (P,Q)n+1
donc f(
U+
V)= f([P(x0),..,P(xn)]+[Q(x0,..,Q(xn)) et je continue ?
pourquoi changer les notations ? P et Q c'est très bien !
quand tu remplaces ton U par [P(x0);P(x1)... etc], cela prouve que tu n'as pas du tout compris l'énoncé.
relis-le et applique correctement la définition de !
mm
alors la je suis perdu et je demande une rectification de ta part la 
.
a moins que tu parle de f((P)+(Q)) ?
j'ai pris un exemple ! applique-moi la fonction phi à l'exemple ! et mets des parenthèses autour des (n+1)-uplets.
si on a P(X)=X...
alors (P)=((X)...)
je sais pas si je me trompe ou pas mais je sais pas ou vous vous en venir.
c'est comme si j'avais
: 
x 2x²+3
on aurait (x)=2x²+3
tu as un énoncé qui te définit une application phi sur l'ensemble des polynômes...
je prends un polynôme particulier : P(X)=X
et je te demande son image par phi.
si tu ne peux pas répondre à cette question, inutile de continuer, tu n'as pas compris l'énoncé !
mm
alors je demande votre aide puisque je n'ai pas compris.
Bref revenons a mon DM s'il vous plait
j'ai l'application
normalemen j'ai
(P)=(P(x0,..,P(xn))
je suis pas fou c'est bien cela
l'image du polynome c bien sa ?
si on P(X)=X alors on a (P(X))=(X) normalement non ?
Bref j'ai l'impression ne n'etre pas un taupin sur ce coup ci
j'aimerai beaucoup que vous m'eclairiez sur votre dernière question.
PS: J'ai l'impression d'être en colle 
...
je vois cela dans l'énoncé ... l'application phi arrive dans n+1... c'est bien l'espace vectoriel sur des vecteurs à (n+1) coordonnées non ?
a si oui je vois et puis si c'est un espace vectoriel c'est qu'il y à des vecteurs.
donc j'ai bien:
(P+Q)=... ?
écris déjà ce que tu veux démontrer !
(à mon avis il faudrait revoir ton cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires... en refaisant les exemples !)
ouais bref c'est pas la question excuse moi mais la on a fait long sur uen question qui est courte.
J'aimerai juste une réponse à une question le reste cela ne regarde que moi.
Pardonnez mon comportement mais la je demande juste une orientation et non des conseils même si cela est vrai.
Donc si vous vous ne voulez pas me répondre je comprendrai que vous perdez patience.
S'il vous plais si nous pouvons faire cours sa serez le mieu pour nous deux..
Je cherche à démontrer que est une aplication linéaire
(P,Q)n[X] (,) (p+Q)=([P(x0),...P(xn)]+[Q(x0),...,Q(xn)]
non, j'étais juste parti mangé !
si tu avais bien compris l'énoncé, on aurait pu "faire court" car cet exercice tient en 10 lignes !
dans ton post de 19:06, je vois que tu n'as toujours pas compris... puisque je vois que tu appliques phi à des (n+1)-uplets dans le membre de gauche... ce qui n'a aucun sens !
donc quitte à me répéter, le meilleur moyen de faire courT est d'appliquer le courS et de traduire avec la simple définition que phi est linéaire.
je ne peux rien dire de plus.
quant à ton souhait de faire court, je vais faire mieux et te donner la solution :
1) soient P et Q n[X] et a, b
il faut montrer que (aP+bQ)=a(P)+b(Q)
(aP+bQ)=((aP+bQ)(x0) ; (aP+bQ)(x1) ; ... ; (aP+bQ)(xn))
or, pour tout i, (aP+bQ)(xi)=aP(xi)+bQ(xi) ... (c'est la définition d'une combinaison linéaire de deux polynômes)
donc (aP(x0)+bQ(x0) ; aP(x1)+bQ(x1) ; ... ; aP(xn)+bQ(xn))=a(P(x0) ; P(x1) ; ... ; P(xn))+b(Q(x0) ; Q(x1) ; ... ; Q(xn))
c'est la définition de la combinaison linéaire de deux vecteurs exprimés par leurs coordonnées.
et a(P(x0) ; P(x1) ; ... ; P(xn))+b(Q(x0) ; Q(x1) ; ... ; Q(xn))=a(P)+b(Q)
2) Cherchons le noyau de :
(P)=0 
P(xi)=0 pour tout i allant de 0 à n
et les (xi) sont deux à deux distincts (c'est l'énoncé)
donc PKer()
P a (n+1) racines distinctes
or P est de degré inférieur ou égal à n et s'il n'est pas nul, possède au plus n racines.
donc P est nul
donc Ker()={0}
donc est injective
3) la dimension de l'espace de départ et de ceuil d'arrivée sont toutes deux égales à (n+1) et est injective, donc elle est bijective (cas particulier d'application du théorème du rang)
voilà
mm
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