Bonjour;
1) h homothétie de rapport r
h°h est une homothétie de rapport r²

pour que il faut que r=k....

2) f automorphisme de

f°f = kf  donc f(f-kI)=0
f est bijectif donc f=kI...faut-il expliquer?

3. Il faut chercher une application linéaire non bijective....
par exemple 0  est dans A_k..

ou alors une projection:

(x;y) ----> (0; ky)

Essaye de t'occuper des ensembles ker(u) ker(u²) Im(u) Im(u²)

esta-fette, je comprend pas vraiment tes réponses, peut tu expliquer un peu stp ?

lollollol, pour la question I,1) ?

Une homothétie est une application du type ...

il faut que h°h = r ° (r I) = r² I = k h = k r I

don h=r.....

compris ou pas ?

Pour le cas génerale ......" ou E est un R ev quelconque"

esta-fette, ok ca me va, c'est + facil comme ca
pour la 2) je pense que ca va.
pour la 3), jvoi pas pourquoi on peut dire que 0 n'est pas une application linéaire bijective..

lollollol, ok jvai essayer..

0 n'est pas bijective:


d'abord ce n'est pas injectif:
pour tout x et tout y
O(x)=O(y)=0

ensuite ce n'est pas surjectif
si y est dans E

O(x)=y n'a pas de solution....

1) Im(u) = { yU, xU, y=f(x) }

ds mon exercice, xIm (u) ca veut dire x'U tel que x =f(x')  ok ?

donc u(x) = u(u(x')) = u²(x') = ku(x') c'est correct ?


2)ker(u) = {xE, u(x)=ku(x')=0}

si k0, Im(u) ker(u) = 0 donc ils sont supplémentaires

3)si k=0, Im(u) = ker(u)

pouvez-vous regarder si je me trompe svp ? merci

la suite de mon enoncé est celui ci:

4) on choisit k0 et u et v A_k
je doit montrer que u o v + v o u = 0 => u o v = v o u = 0

et en déduire que u + v A_k => u o v = v o u = 0

5) on suppose u + v [/smb]A_k
montrer que Im ( u + v) = Im u + Im v     et ker(u o v) = ker u ker v


pour la 4), j'ai essayé des calculs en disant que v = v²/k mais je trouve rien de tres interessant...

Utilise le fait que ker(u) et im(u) soient suppelementaire et la 5 par double inclusion.

Im(u) = { yU, xU, y=f(x) }

ker(u) = {xE, u(x)=0}

Im(u) ker(u) = 0

mais ensuite je bloque sur ce que je peut faire à partir de ça..