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application linéaire
Salut, j'aurai besoin d'un peu d'aide sur ce sujet svp :
Soit K = 
ou 
Soient E un K-espace vectoriel et f un endomorphisme de E.
{0} et E sont des sous espaces stables par f, on les apelle les sous espaces triviaux.
1) a) Soit P
K[X]. montrer que ker P(f) est stable par f.
b) Si 
est une valeur propre de f, montrer que le sous espace propre associé ker(f-Id) est stable par f.
2) a) Soit A une famille generatrice d'un sous espace vectoriel F de E. Etablir que F est stable par f ssi f(A) 
F
merci !
1a: Résulte de P(f)of=foP(f) et , f étant linéaire : f(0)=0.
1b:Résulte du 1a avec P(X)=X-
2a : Si x est dans f(A) alors f(x) est dans F ( car F stable par f ). (Ecrire x comme comb lin de A).
Si f(A) est inclus dans F , comme tout élément x de F est comb lin d'éléments de A , f(x) est dans f(A) donc dans F .
Comaths
car f est linéaire :
puis tu conclus .
Si tu connais , tu utilises la structure d'algèbre de l'ensemble des endomorphsimes de E .
Comaths
je comprend pas trop pour la 1)b)
si je me base sur la 1)a), j'écris:
fo(f-Id)= fof-f = (f-Id)of
donc fop(f) = p(f)of
f est linéaire et est valeur propre de f
f(0)=0
donc ker(f-Id) est stable par f.
c'est correct si j'écris juste ça ?
tu écris simplement : fo(f-Id)= fof-f = (f-Id)of
donc ( vu la première question) : ker(f-Id) est stable par f.
J'ai fait une petite erreur :
tu écris simplement : fo(f-Id)= fof-f = (f-Id)of
donc ( vu la première question) : ker(f-Id) est stable par f.
et là , oui , je suis sûr de mon raisonnement .
Encore un oubli !!!!
tu écris simplement : fo(f-Id)= fof-f = (f-Id)of
donc ( vu la première question) : ker(f-Id) est stable par f.
et là , oui , je suis sûr de mon raisonnement .
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