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application linéaire
Bonsoir je viens à vous car j'ai un petit problème, j'étais en train de retravailler un exo et j'un peu du mal à comprendre le pourquoi des étapes du calcul
Donc on a R3 et sa base canonique (e1,e2,e3) et in définie un endomorphisme de u de R3 tq: u(e1) := e1+2e3, u(e2):=2e1-e2-e3, u(e3):= -e1+e2+3e3
Il faut déterminer Ker(u) et Im(u)
Donc on a commencer par poser x=(x1,x2,x3) appartenant à R3 , et appartenant à Ker(u)
Ce qui implique que u(x1,x2,x3) = (0,0,0), c-a-d que u(x1e1,x2e2,x3e3) = (0,0,0) car x= x1e1,x2e2,x3e3 (première question pour x= x1e1,x2e2,x3e3 ? Est-ce que c'est parce que (e1,e2,e3) est une base de R3 et donc que x est forcément combinaison linéaire des ses vecteurs ?)
Ensuite remplace par les expression ce qui donne x1(e1+2e3)+ x2(2e1-e2-e3)+x3(e1+e2+3e3)
Puis on factorise par les e ce qui donne e1(x1+2x2-x3)+e2(-x2+x3)+e3(2x1-x2-3x3) et on résout le système en enlevant les e ( deuxième question, je ne comprend pas pourquoi on factorise par e, et la signification du résultat obtenue, j'ai dans ma correction qu'à la suite du système on obtient le vect de Ker(u), mais pourquoi ? est-ce c'est parce qu'en résolvant le système on trouve les coordonnées du vecteur tels que les images sont nuls et donc que ces coordonnées représente le Ker(u) ?
le message et un peu long et confus veuillez m'excuser
Bonsoir
Le fait que soit une base garantit que tout vecteur
s'écrit
où les
sont uniques. On dit alors que
sont les coordonnées de
dans cette base.
En l'occurrence, on a pris la base canonique, c'est la "plus simple" qui soit dans R^n. Mais on aurait pu en prendre une autre, et on aurait eu d'autres coordonnées.
La linéarité de u permet d'écrire , c'est important de le préciser et de le comprendre
On "factorise" par e_1, e_2, e_3 car ça permet de faire apparaître les coordonnées de dans la base (e_1, e_2, e_3).
Le système d'équation obtenu est équivalent à . Donc la solution du système décrit précisément Ker(u)
En fait, on "enlève" pas vraiment les e. C'est juste que quand on écrit , c'est équivalent à écrire
Mais , c'est aussi un vecteur, et ses coordonnées sont
. Et on a dit que les coordonnées étaient uniques pour un vecteur donné. Donc on déduit que les coordonnées de l'un sont les coordonneés de l'autre. Et ça donne le système en question, sans les e car on ne garde que les coordonnées
Et si tu résous le système tu trouveras
ça veut dire que Ker(u) = {(0,0,0)}. Et ça tombe bien, c'est bien un sev de R^3.
Attention à l'expression Vect (sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs). On l'utilise pour décrire un sev à partir de vecteurs qui l'engendrent, donc dire "Le vect de Ker(u)" n'a aucun sens. En revanche, dans certains cas, on pourra exprimer le Ker(u) comme un Vect de plusieurs vecteurs. C'est le cas quand le système n'a pas une seule solution mais tout un espace de solutions
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