pour KerA1 par ex
la dim de Ker A1 est en gros le nb de parametre dont depend un element de KER A1
deux !
pour rediger et trouver une base de Ker A1
si
v=z fois un vecteur1 de R^4 + t  fois un vecteur2 de R^4
(en quelque sorte on met "en facteur" les parametres z et t ds les vecteurs)

vecteur1  et vecteur2 (deux vecteurs qui ont chacun quatre composantes) constituent des generateurs de Ker A1
pour etre sûr de la dim de Ker A1 il faut verifier que vecteur1  et vecteur2 forment une famille libre

suit le même schéma pour evaluer dim Im A1
mais là il y a surement des fautes de frappe car les vecteurs de R^3 ont plus de trois composantes !!! et on ne sait pas ce que sont les parametres a et b

a, b, c et d sont les valeurs permettant de trouver l'image de la matrice donc pour chaque valeur différente, j'aurai des solutions différentes pour ma matrice. C'est ma solution en gros je dois résoudre A = (a,b,c,d) pour l'image et A = (0,0,0,0) pour le noyau.

Si je suis ton raisonnement j'ai Ker A1 = 2, Im A1 = 2, Ker A2 = 1, Im A2 = 1, Ker A3 = 0, Im A3 = 0, Ker A4 = 0 et Im A4 = 0 ?

Ou ker A3 = 2 et Ker A4 = 3 parce que j'ai :
10|0    100|0
01|0 et 010|0 ?? et Im A3 = Im A4 = 0 parce que à chaque fois je n'est pas de
         001|0       paramètres ??

  1 1  0 5
  1 2 -1 7
-1 3 -4 3

Pour trouver le noyau je résouds  1 1  0 5|0
                                                  1 2 -1 7|0
                                                 -1 3 -4 3|0
pour l'image :  1 1  0 5|a
                      1 2 -1 7|b
                     -1 3 -4 3|c

Une fois résolu je trouve :

Ker A1 = {(-z-3t;z-2t;z;t)|z,t}
Im A1 = {(2a-b-z-3t;b-a+z-2t;z;t)|z,t}

Donc a b c et d ne rentrent pas en compte pour la dimension non ?

je suis d'accord pour le noyau qui est donc de dim 2 (ecrire la demonstration suggérée ci-dessus)
l'application linéaire n'est donc pas injective
tu peux en deduire avec le theoreme du rang la dim de Im A1
dim(Im A1)+dim(Ker A1)=dim(espace de départ)


si dim(Im A1)<3 l'application ne sera pas surjective

si tu ne connait pas ce theoreme tu peux chercher pour la surjectivité si le système admet des solutions pour n'importe quelle valeur de a ,b , c. Avec la methode de Gauss tu modifies le second membre et ta 3eme equation devient
0x+0y+0z=0t=0=(c+a)-4(b-a)
le systeme n'a de solution que si a, b, c verifie cette equation

je te laisse conclure

Y a un truc qui me chiffone.
Par exemple pour A2, J'ai dim Ker A2 = 1 parce que j'ai un seul paramètre donc logiquement (selon le théorème du rang) j'ai dim Im A2 = 4-1 = 3 mais j'ai qu'un paramètre pour l'image aussi alors pourquoi 3 ?? parce que si je commence par l'image et que je dis que sa dimension vaut 1, mon noyaau vaut 3...

Et dernière question : on peut dire qu'une dimension vaut 0 ?? pour Ker A3 et Ker A4 ??

Pour la surjectivité, j'ai inverser les questions dans mon post (oups XD) donc je pense qu'il faut que je dise si l'application est surjective ou pas d'une autre façon.

Merci de ton aide !!

Im A1 = {(2a-b-z-3t;b-a+z-2t;z;t)|z,t}
Im A2 = {(c-t;b-c+a-t;a-t;t)|t}
Im A3 = {(3b-2a)/4;-(b-2a)/4}
Im A4 = {(c,b,a)|d=2b-c+a}

Les images ce n'est pas du tout ça
pour A1 l'image c'est l'ensemble des vecteurs (a,b,c) de R^3 tel que le système que tu as ss doute écrit ait des solutions
c'est-à-dire, telle que la troisieme equation soit verifiée puisque ds ce cas les deux premieres equations admettent la solution que tu as écrit
c'est l'ensemble des vecteurs (a,b,c) de R^3 tel que 0=(c+a)-4(b-a)
(ou encore c=3a-4b)
l'ensemble des vecteurs (a,b,c)=(a,b,3a-4b)=a(1,0,3)+b(0,1,-4)
base de l'image {(1,0,3),(0,1,-4)} deux vecteurs lineairement independants et generateurs de l'image

Merci de ton aide,
On a fait d'autres exemples aujourd'hui et j'ai mieux compris