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Application linéaire, Noyau, Image d'un polynome
Bonjour!
Voila l'énoncé :
Soit f l'application qui à P(X)
[X] associe f(P(X))=P(X+1)+P(X-1)-2P(X).
a. Montrer que f est une application linéaire.
b. Calculer f(Xn) pour n
. Quel est son degré? En déduire Ker(f).
c. Soit Q(X) un polynôme de Im(f); montrer qu'il existe un polynôme unique P(X) tel que f(P(X))=Q(X) et P(0)=P'(0)=0.
f linéaire :
f(0) 
P(X)=0, je veux montrer que P(X+1)+P(X-1)-2P(X)=0, mais je n'y arrive pas.
Soit P(X)et Q(X) [X], 
,
f(*P + Q)(X)=
(*P + Q)(X+1)+(*P + Q)(X-1)-2(*P + Q)(X)=
*P(X+1)+Q(X+1)+*P(X-1+Q(X-1)-2**P(X)-2*Q(X)=
(P(X+1) + P(X-1) - 2P(X))+(Q(X+1) + Q(X-1) - 2Q(X))=
(f(P(X))+f(Q(X))).
Est-ce juste?
b. f(Xn)=(X+1)n+(X-1)n-2(X)n.
Je pense que le degré est n mais je n'arrive pas à la justifier.
Puis après je bloque sur le noyau, ainsi que sur la question c. Je ne vois pas ce qu'il faut faire.
Merci!
bonjour Clochette,
pour la linéraité du "a", oui c'est bon
mais je comprends pas ton histoire de "f(0)" ?
pour le (b), ton écriture est juste... mais le degré n'est pas n.
tu peux écrire les développements avec le binôme de Newton.
je reviens sur le (a) :
si tu tiens à chercher l'image du polynôme nul, c'est assez "trivial" puisque si P est le polynôme nul, P(X+1) et P(X-1) aussi... et donc il est immédiat que f(P) est le polynôme nul.
Mais cela est inutile puisqu'avec ce que tu démontres ensuite, en prenant P=Q et =-1, tu déduis que f(0)=0.
D'ailleurs, je tiens aussi à rectifier un petit problème de notation : f est une application de [X] dans [X]... à un polynôme, f associe un polynôme...
Il faut donc noter f(P)(X) ... et non f(P(X))
alain
j'ai relu ma leçon, et oui mon f(0) ne sert à rien...
Sinon, je trouve (n-2) le degré de f(Xn) avec le binome de newton. C'est ça? sinon, je te montre mes calculs pour voir où est l'erreur.
Par contre le reste je bloque toujours...
oui, c'est bien (n-2) ... à condition que n
2
et pour n=1 ?
et pour n=0 ?
Tu as donc l'image d'une base... et la linéarité te donne l'image de tout polynôme...
Alors quels sont ceux dont l'image est nulle ? le noyau en d'autres termes ?
et pour la question suivante, pense que P1 et P2 ont même image Q ssi P1-P2 est dans le noyau.
(je vais être absent une semaine... désolé de ne pouvoir continuer à t'aider...)
alain
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