Inscription / Connexion Nouveau Sujet
application linéaire , polynomes
Bonjour , j'ai l'exercice suivant : Soit E l'espace vectoriel réel des polynômes à coefficients réels de degré au plus 2. On considère l'application f qui au polynôme P appartenant à E associe le polynôme Q où
Q(X)=P(1−X)−X²P(0).
1. Vérifier que f est une application linéaire de E dans E. Si P = aX² +bX+c , expliciter f(P).
Soient P(X) et P(X1) apprtiennet à E . Q(X+X1) = (P(1-X)-X²P(0) + P(1-X1)-X1²P(0)) = P(1-X)-X²P(0) + P(1-X1)-X1²P(0) = Q(X) + Q(X1) .
Soit
R et P(X) E .
Q(X) = P( - X) - X²P(0) = (P(1-X) - X²P(0)) = Q(X) . Donc f est linéaire .
f(P) = Q(P) = P(1-aX²+Bx+C) - (aX²+bX+c)²P(0) = P(1-aX²+Bx+C) - (aX²+bX+c)²*c .
Jusqu'ici etes vous d'accord avec mes réponses ?
merci
(re)Bonjour, severinette
Non, pas d'accord avec tes réponses.
Ce qu'il faut démontrer, c'est que:
donc que:
De même, il faudra démontrer que:
Salut que penses tu de l'application de
dans
où
? Est-elle linéaire ?
Je pense qu'il y a une énorme confusion ici Q(X+X1) = (P(1-X)-X²P(0) + P(1-X1)-X1²P(0)) = P(1-X)-X²P(0) + P(1-X1)-X1²P(0) = Q(X) + Q(X1).
L'autre calcul est correct mais on peut s'en passer si on s'en prend bien. Il faudrait aussi montré en premier lieu que (ce qui est assez évident).
Re perroquet 
, donc pour la question 2 j'ai bon ? Pour la 1 ok pour l'addition mais pour la multiplication je vois pas quoi écrire d'autre , je pense avoir bien démontrer le truc non ?
Pour la question 2:
Il faut simplifier ensuite cette expression en développant et en regroupant suivant les puissances de X ....
Pour la multiplication:
(il est faux que )
décidément je suis nulle et archie nulle , je suis JAMAIS capable de démontrer qu'une application est linéaire , c'est le plantage 100% assuré , vraiment la honte .
Pour le f(aX²+bX+c) je dois t'avouer que je pige RIEN à ta réponse mais ALORS rien DU TOUT . faut considérer X comme aX²+bX+c n'est ce pas ?
vu que l'application rend P(1-X)-X²P(0) , c'est pas plutot :
a((1-X)-X²P(0))² + b((1-X)-X²P(0)) + c ?
perroquet désolée d'etre bete mais je comprends pas , si on a :
f(X) = P(1-X) - X²P(0) , alors :
f(aX²+bX+c) = P(a((1-X)-X²P(0))² + P(b((1-X) - X²P(0)) + c .
ça fait donc : X²(a-c) + X(-2a-b) + b + c
2) Ecrire la matrice M de f relative à la base (1,x,x²) de E .
vu la réponse précédente je dirai :
0 -2 1
1 -1 0
1 0 1
qu'en pensez vous ?
merci
ça fait donc : X²(a-c) + X(-2a-b) + b + c
Un petit oubli
X²(a-c) + X(-2a-b) + a + b + c
Par contre, la matrice est fausse.
On commence par calculer:
f(1)=1-X²
Donc la première colonne de la matrice est
1
0
-1
une dernière question , peux tu dire comment tu trouves f(1) = 1-X² car je vois pas du tout quel calcul tu fais...
Deux méthodes (il suffit que tu en comprennes une):
La première:
Lorsque P(X)=aX²+bX+c on a: a=0 b=0 c=1
Donc f(1)=(a-c)X²+(-2a-b)X+a+b+c= -X²+1
La deuxième:
Lorsque P=1
f(P)=P(1-X)-X²P(0)=1-X²
Annuler
connectez vous
algèbre en Bts