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Applications
Bonsoir à tous !
J'ai juste une petite question méthode à propos d'un exercice:
On a six applications :
f0(x)=x; f1(x)=1/x; f2(x)=1-x; f3(x)=(x/x-1); f4(x)=((1/1-x); f5(x)=(x-1)/x
Et on considère G = f i (i compris entre 0 et 5) muni de la composition.
Alors je dois montre que G est un groupe : donc je dois montre l'associativité c'est à dire par exemple :
(f0 rond f1) rond f2 = f1 rond (f1 rond f2) mais il y a pleins de possibilités ! Je dois écrire toutes les possibilités ?
Merci d'avance !
Salut 
En fait la difficulté ici est cachée car les élèves ont tendances à oublier une hypothèse essentielle pour avoir un groupe.
Voyons voir, peux-tu me dire dans quel cas un ensemble muni d'une loi est un groupe?
J'adhère totalment à la remarque de nightmare...quant à la composition elle n'a pas à être traitée puisque vraie pour toutes les applications (quand ça a un sens)
Un ensemble muni d'une loi est un groupe si :
_ la loi est associative
_ il y a un element neutre (f0 ici)
_ tout élément à un invers (f1 ici)
c'est ça ? merci !
Et voila, tu es toi aussi tombé dans le piège
Il manque l'hypothèse fondamentale ! Regarde dans ton cours et dit moi ce qu'il manque !
J'ai relu mon cours, je trouve bien ceci :
Soit G un ensemble muni d'une opération ∗.
On dit que G est un groupe lorsque les trois conditions suivantes sont realisees :
(i) ∗ est associative.
(ii) ∗ possède un ´élément neutre.
(iii) Tout élément de G possède un symétrique pour ∗
Je ne vois pas ...
La encore, l'hypothèse est "masquée" sous un autre nom (elles sont perverses ces structures algébrique).
Quelle est la différence entre ce que tu as énoncé et ce qu'énonce ton cours? (Attention c'est subtil).
Allez on va y arriver, je ne veux pas te dévoiler la solution car au moins quand tu auras trouvé la différence, tu ne feras plus jamais cette erreur.
Cela dit, loin de moi l'idée de critiquer ton professeur, mais la définition est mal rédigée pédagogiquement parlant, il faudrait mettre souligner un peu plus l'hypothèse manquante.
Franchement je vois pas de différence ... Je n'arrive pas à trouver l'hypothèse manquante. J'ai juste remplacé symétrique par inverse.
Merci d'avance .
Oui ça c'est équivalent ce n'est pas là le problème.
Je te cite :
Un ensemble muni d'une loi est un groupe si :
Je cite ton cours :
Soit G un ensemble muni d'une opération ∗.
Quelle est la différence?
Et bien j'ai remplacé opération par loi.
C'est pareil que de dire : "Un ensemble G muni d'une opération est un groupe si" non ?
Non ! Une opération c'est une loi interne !! Le voila notre mot manquant.
Pour avoir un groupe il nous faut une loi de composition interne.
Le point clé de ton exercice est donc de montrer que si l'on compose deux de tes fonctions de G, alors on obtient encore une fonction qui est dans G (donc l'une des fi)
Ah d'accord. Mais j'ai fait la table de composition dans la suite de l'exercice et je viens de le remarquer ! Merci
Mais il faut le montrer par des exemples ?
Sinon, f0 est bien le neutre et l'inverse de tous les éléments est f1?
merci en tout cas !
La composition est toujours associative, qu'on soit dans G ou dans n'importe quoi ! Pas besoin de la vérifier ici! Il faut vérifier les autres par contre.
Caractère interne de la loi de composition : Vérifier pour toutes les possibilités
Présence d'un neutre : L'identité est bien dedans.
Inversibilité : La encore il faut vérifier toutes les possibilités. Les réciproques de tes fonctions (pourvu qu'elles existent) sont-elles toutes dans G?
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