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Applications
Bonjour à tous,
On traite actuellement un chapitre assez abstrait portant sur les applications, et je peine à résoudre les exercices donnés par le prof. En voici un qui me pose quelques problèmes:
Soit f une application de E dans F
g une application de P(E) dans P(F) qui à A associe f(A) (f est l'image directe)
h une application de P(F) dans P(E) qui à B associe f-1(B) (f-1 est l'image réciproque)
Démontrer les équivalences suivantes:
f surjective 
g surjective
f surjective h injective
Je bloque complètement car j'ai beaucoup de mal à raisonner sur la notion d'application, image directe, réciproque etc. Si quelqu'un pouvait donc me donner un petit coup de main ça ne serait pas de refus 
Merci d'avance !
Seb44
Bonjour
Voilà un début:
On suppose que f est surjective. Soit B une partie de F. Alors . Par définition
. Mais comme f est surjective, si
, il existe x tel que f(x)=b et cet x est bien sur dans
. Ceci prouve que
. Conclusion
et on vient de montrer que g est surjective.
Merci beaucoup pour votre aide Camélia 
De prime abord, il me semble que l'on peut appliquer le même raisonnement réciproquement non?
Supposons g surjective
soit D
F
par définition g(g-1(D))
D
soit dD, 
x tel que g(x)=d puisque g est surjective, et xg-1(D)
donc g(x)=dg(g-1(D))
d'où 
dD, dg(g-1(D))
donc Dg(g-1(D))
on en déduit D=g(g-1(D)) soit D=f(g-1(D))
donc f est surjective
Cela fonctionne-t-il?
Non, ça ne marche pas! N'oublie pas que g est une fonction de P(E) dans P(F)!
Si on suppose f non injective, on a f(E)\neq F. Crois-tu que g puisse être surjective?
Ah oui exact on ne peut appliquer g à D si D est un élément de F puisqu'on ne peut être sûr qu'il soit bien une partie de F...
Mais pourquoi parlez vous d'injectivité? et que signifie votre "f(E)/neq F" ?
Oh, problème de frappe!
Si f est non surjective, on a . Alors on n'aura f(A)=F pour aucune partie de E, donc non plus de g(A)=F et la patite F n'étant pas obtenue, g n'est pas surjective!
Si je comprend bien vous raisonnez par contraposée : en montrant que f non surjective entraine g non surjective, on montre que g surjective entraine f surjective. Mais est-il possible de démontrer cela par un raisonnement direct? Car c'est une des exigences du prof...
Etonnant comme exigence! Si g est surjective il existe une partie A de E telle que g(A)=F, et alors donc f(E)=F et f est surjective!
Très bien merci beaucoup pour votre aide je vais tenter de me débrouiller pour l'autre, encore merci à vous
pfff c'est pas croyable j'arrive à rien avec ces applications...
...vous auriez une idée pour la 2e équivalence à démontrer?
Dans un sens je pense y arriver:
Supposons h injective
Soit X P(F)
On sait que Xh-1(h(X))
Soit xh-1(h(X))
h(x)h(X)
à h(x) associons yD tel que h(x)=h(y)
or h est injective donc x=y
donc xX
d'ou h-1(h(X))=X
soit f(h(X))=X
Donc f est surjective.
Mais réciproquement je n'y arrive pas
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