Bonjour.

1°) Etude de g.

Connais-tu la définition de l'injectivité ?

oui c'est losque qu'un élément possède au plus un antécédent par g

Oui.

Ici, prenons dans Z le nombre 5. On a : g(1,4) = 5 et g(0,5) = 5

ah oui donc ce n'est pas injective

Exactement. On a mis en évidence un contre-exemple

Pour la surjectivité de g, prend un élément y de Z et essaie de lui trouver au moins un antécédent.

ah mais je pense que ce serait alors surjectif

Oui, car pour tout élément y de Z, (y,0) dans ZxZ est un antécédent de y.

Conclusion : g est surjective, mais non injective.

je sais pas si ça marche mais voila ce que je trouve:
pour tout y il existe (a,b) ²/ y=a+b
c'est vrai pour tout élément de   mais est-ce qu'il faut le démontrer?

ah il suffit d'un exemple pour la surjectivité?

Mais oui j'ai compris c'est au moins un antécédent...  ah j'ai compris pour cet exemple. Mais pour l'autre exemple je ne vois pas trop. Si on était dans les complexes, c'était bijectif mais la on est dans . Je ne vois pas trop comment faire...

h(a,b) = h(c,d) a + ib = c + id

Par identification des parties réelle et imaginaire :

a = c et b = d (a,b) = (c,d)

Donc, h est injective.

Si a + ib Z + iZ, alors il admet (a,b) pour antécédent.

Finalement : h est une bijection.

Mais là, h est une bijection si on est dans ais là c'est dans . Je ne comprends pas pourquoi ça marche dans .

La source est ZxZ

oui ² donc c'est un couple mais je ne comprend quand même pas pourquoi on parle de partie réelle et imaginaire...

Ne confonds pas (a,b) et a + ib.

En fait, Z+iZ est inclus dans C, donc, les calculs classiques des complexes s'appliquent.

donc ça veut dire que c'est la même chose que si on avait ²

Pas tout à fait.

Lorsque tu écris que h(a,b) = a+ib, a et b sont entiers, donc ne représentent qu'une partie de C.

3 - 2i a pour antécédent par h : (3,-2)

Si tu prenais C en entier, 1 + i n'a pas d'antécédent dans Z².

ah oui j'ai compris! Merci pour votre aide Raymond!

Bon dimanche.