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Applications dans les ensembles finis!
Bonsoir,
Un petit exercice sur lequel je mets du temps, j'ai besoin de vous 
La relation "est ami de" est supposée réflexive (chacun est ami de lui même) et symétrique (si A est ami de B, alors B est ami de A). Soit E un ensemble de n personnes (n
2) et f de E dans [1,n] l'application qui à chaque personne de E associe son nombre d'amis dans E.
On suppose f surjective. En traduisant que 1
Im(f), montrer que n
Im(f) puis que f ne peut pas être surjective.
En fait je ne vois pas pourquoi n n'appartient pas à Im(f). En effet en supposant f surjective on imagine que chaque image a au moins un antécédent. Pour n=2, deux personnes peuvent être amies ensemble ou simplement amies avec elle même (réflexivité) donc pour deux personnes, le nombre d'ami est de 1 ou 2. Idem pour trois personnes, le nombre d'ami est de 1, 2 ou 3.
Or E est un ensemble de n personnes et n2 donc E est défini sur [2,n+1]. Donc si on considère un ensemble de n+1 personnes, le nombre d'ami est de 1 ou 2 ou 3 ou ... ou n ou n+1 (par suite avec les cas n=2 et n=3).
Je ne vois donc pas pourquoi n n'appartiendrait pas Im(f) !
La seule ambiguité est que n+1 personnes ne peuvent pas avoir n+1 amis, seulement n, car n+1[1,n] l'ensemble de départ.
Qu'en pensez vous ?
bonsoir
On suppose f surjective.
1
Im(f)puis que f ne peut pas être surjective
Bonsoir
On suppose f surjective ie tout élément de [1,n] a au moins 1 antécédent dans E. En particulier, 1 a au moins 1 antécédent (appelons-le a): 1
Im(f) ; f(a)=1
Comme E est un ensemble à n éléments, chacun des n-1 éléments autres que a ne peut avoir que n-1 amis et donc nIm(f).
Ceci contredit l'hypothèse "f est surjective"
L'énoncé est très mal tourné...
En fait tu dois montrer que f n'est pas surjective !
par ailleurs, l'ensemble d'arrivée est [1;n]
et pas [1;n]
E est défini sur [2,n+1].
Bonsoir.
Supposons f surjective. Cela signifie que le nombre 1 possède au moins un antécédent. En clair, il existe dans E au moins une personne p ayant pour ami elle-même et pas d'autre.
Donc, toutes les autres personnes de E ne sont pas amies avec p, donc peuvent avoir au maximum n-1 amis.
Bonsoir MM,
Ce n'est qu'un raisonnement par l'absurde. non ?
Bonsoir rene38,
En considérant les n-1 éléments autres que a, chacun d'eux ne peut avoir que n-1 amis.
Mais en considérant les n éléments dont a, ils ont donc n amis, non ?
Je ne comprend pas la subtilité !
Merci raymond nous avons posté ensemble
MM c'est l'ensemble des entiers de 1 à n (je ne sais pas comment on faire les crochets double barre, je pensais que c'était évident puisque ça parlait des ensembles fermés, je m'en excuse !)
Cependant, comment peut on dire qu'il existe forcément qu'une personne étant amie avec elle même ?
J'ai une question, cela revient donc à dire que 2 personnes de E ne peuvent pas avoir exactement le même nombre d'amis puisque chaque ensemble a n éléments, non ?
Si. Pour n = 3.
Appelons p, q, r les trois personnes.
Si p et q sont amis entre eux, et r qui n'a pas d'autre ami que lui même :
f(p) = 2
f(q) = 2
f(r) = 1
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