Bonsoir,

Ce genre d'exercices nécessite de savoir bien revenir aux définitions d'une part, et d'être prudent d'autre part.

Pour ce qui est de la prudence, vérifier que les composées sont bien définies comme il faut, vont des bons espaces de départ dans les bons espaces d'arrivée etc...ici ça fonctionne bien.

Prenons un cas particulier, le reste fonctionne de la même manière : f est injective, donc pour tous x et x' dans E, si f(x)=f(x') alors x=x'.

Or h : G -> E donc pour tous y, y' dans G, h(y) et h(y') sont dans E et donc f[h(y)] = f[h(y')] implique bien h(y) = h(y') par injectivité de f, et c'est exactement dire que f_*  [alias "f étoile en bas"] est injective !

Je te laisse prouver de même les autres assertions.

Cordialement,

Drasseb

Ah d'accord je vois ! Je vais tenter pour voir si ça marche avec toutes les implications !

En tout cas merci beaucoup ! Je repasse si ça bloque

A bientôt.

Juste une question qui me vient en relisant :
Pourquoi h : G -> E ? C'est peut-être évident mais je ne vois pas trop...

En fait je crois que c'est l'histoire des applications de X dans Y qui me déroute...

Tout simplement, tu lis dans la définition de f_* [toujours "f étoile du bas"] :



ce qui signifie très exactement que h : G -> E par la définition que tu as toi même rappelée dans ton premier post.

Aaah okay ! C'est beaucoup plus clair !

Je te remercie pour ton aide !

Bonjour,

Désolée de m'immiscer mais je n'ai pas bien compris en quoi montrer que [h(y)] = f[h(y')] h(y) = h(y') montre l'injectivité de f_*.
Pourquoi ne faut-il pas montrer que f_*(h1)=f_*(h2) h1=h2 ?

Non non, cependant mille excuses il y avait bien une erreur dans mon explication ! Il faut plutôt prouver que f[h(y)]=f[h'(y)] implique h(y)=h'(y) pour tout y dans G. Désolé !

Merci pour cette remarque Atea !

Et attention, je dis plutôt : "pour tout y dans G, f[h(y)]=f[h'(y)] implique h(y)=h'(y)" [car ma phrase prêtait encore une fois à confusion !]

Et dans ce cas, h(y) et h'(y) sont posés arbitrairement comme appartenant à G ?

En fait, h(y) et h'(y) appartiennent à E puisque h et h' sont des applications de G dans E.

Pour montrer que f injective => f_* injective j'aurais procédé ainsi :
Pour montrer qu'une application est injective, il faut montrer que si deux éléments ont la même image par cette application, alors ils sont égaux. (C'est la définition, en tout cas celle de mon dico des maths )

Ici c'est un peu compliqué car l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée de notre application sont des ensembles d'applications.
On a donc une application qui à une application (de G dans E) associe une application (de G dans F).

Soient h et h' deux éléments quelconques de notre ensemble de départ, c'est-à-dire deux applications de G dans E.
On veut montrer que si f_*(h)=f_*(h') alors h=h'.

On suppose donc que f_*(h)=f_*(h'), c'est à dire f o h = f o h'.
f o h et f o h' sont des applications de G dans F. Dire qu'elles sont égales, c'est dire que tout élément y de G a la même image par ces deux applications : pour tout y de G, f o h (y) = f o h' (y)
ce qui peut encore s'écrire f(h(y))=f(h'(y)).
Comme on suppose f injective on a alors : pour tout y de G, h(y)=h'(y) ; ce qui revient à dire que les applications h et h' sont égales : h=h'.

D'accord je vois... Je vais essayer ça alors !
Merci

Ca a l'air de bien fonctionner !

Donc ensuite, pour démontrer l'équivalence, j'ai tenté de démontrer l'implication dans "l'autre sens", f_* injective => f injective :

Je suppose : f_* injective et, pour tous x, x' ∈ E, f(x) = f(x')

Le but serait donc d'arriver à (f o h)(x) = (f o h)(x')
Ayant supposé f_* injective, il viendrait logiquement x = x', d'où f injective.

Mais il me semble bizarre de pouvoir passer directement de f(x) = f(x') à (f o h)(x) = (f o h)(x'), et il doit y avoir en plus une histoire d'ensembles de départ et d'arrivée à gérer non ? J'avoue ne pas comprendre grand chose à cet exercice...

Les applications sur des ensembles d'applications ce n'est jamais simple à gérer...

En fait on n'a pas : "pour tous x, x' ∈ E, f(x) = f(x')"
Pour montrer que f est injective, on doit montrer que si f(x) = f(x') alors x=x'

Le fait que f_* soit injective ne donne pas (f o h)(x) = (f o h)(x') x=x' (ce serait f o h injective),
mais f_*(h)=f_*(h')h=h'
soit encore f o h=f o h' h=h'
soit encore (en utilisant la définition de deux applications égales)
(pour tout g∈G, f o h (g)=f o h'(g))(pour tout g∈G, h(g)=h'(g))

Supposons f_* injective
Soit x et x' ∈E tels que f(x)=f(x').
On veut montrer que f est injective, c'est-à-dire que x=x'.
On sait que f_* est injective, soit encore : (pour tout g∈G, f o h (g)=f o h'(g))(pour tout g∈G, h(g)=h'(g))
Là on est un peu embêtés, car on a des f(h(g)) et qu'on veut directement f de quelque chose.
On pose alors h1: gx et h2: gx',  deux applications (constantes) de G dans E.
Pour tout g dans G, on a h1(g)=x donc f(h1(g))=f(x) ; de même f(h2(g))=f(x').
Or f(x)=f(x') (c'est notre hypothèse)
On a donc : pour tout g∈G, f o h1 (g)=f o h2(g)
Comme f_* est injective, on a alors : pour tout g∈G, h1(g)=h2(g)
Or h1(g)=x et h2(g)=x'.
Donc x=x' ; et donc f est injective

Mhh d'accord... C'est vraiment très gentil de m'aider ! Merci !

Pour le reste des implications, je vais continuer de chercher. Apparemment, pour résoudre tout l'exercice, il faut que j'en démontre 8. Je suis à la moitié !

Encore merci

De rien !
Bon courage