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Applications linéaires

Posté par
funkadelik93 13-04-09 à 12:35

bonjour à tous, juste un petit renseignement

base naturelle et base canonique sont ils des synonymes?

quand on trouve la base de ker(f), doit elle toujours être exprimée en fonction des vecteur e1, e2, etc...? parceque dans un exercice de mon cours, je trouve grâce à la résolution de la matrice associée, une base de ker(f) à partir de valeurs de x3 et x4 mais ma prof l'exprime en vecteurs :e1, e2, e3 et e4


merci

Posté par
funkadelik93autre question 13-04-09 à 12:56

je ne comprends pas un truc:

selon le théorème fondamental de l'algèbre linéaire le nombre de la colonne de la matrice associé= dim ker(f) + dim im(f)

seulement j'ai marqué que le rang de A= dim ker(f) et après que rang de A= dim im(f)

si quelqu'un voit l'erreur merci de me le dire.

Posté par
tringlaridore : Applications linéaires 13-04-09 à 13:06

Bonjour,

Pour ton premier message :
  il faut faire attention à ne pas confondre vecteur et coordonnées. Si tu veux de l'aide pour cet exercice il va falloir être plus explicite sur l'énoncé.

Pour ton second message :
  Par définition le rang d'une application linéaire f est :
     \mathrm{rg}(f) = \dim \im(f)
c'est-à-dire la dimension de l'image.
  
Remarque générale :
evite de mettre plusieurs questions dans le même topic (à moins qu'il s'agisse du même exercice).

Posté par
tringlaridore : Applications linéaires 13-04-09 à 13:08

ERRATA : dans le second paragraphe il faut lire \dim( \mathrm{im} (f)).

Posté par
apaugamre : Applications linéaires 14-04-09 à 04:16

Citation :
le nombre de la colonne de la matrice associé= dim ker(f) + dim im(f)


je dirai plutôt la chose en deux étapes très importantes à retenir
1-les colonnes de la matrice donnent les composantes dans la base d'arrivée des f(e_i) où e_i _{i\in I} est la base de départ. Le nombre de colonnes c'est donc la dimension de l'espace de départ (et le nombre de lignes correspond à la dimension de l'espace d'arrivée).
2- dim ker(f) + dim im(f)= dimension de l'espace de départ

Une règle "d'or" : Quand on a une matrice d'apllication linéaire toujours faire un petit schéma du genre
\begin{array}{ccccc}&f&\\{E}&{\longrightarrow}&{F}\\{(e_i)}&&{(f_j)}\end{array}
où (e_i )_{i\in I} est la base de départ et où (f_j) _{j\in J} est la base d'arrivée,
pour bien voir d'où l'on part et où on arrive.
En plus on peut mettre sur ce schéma où se situe noyau et image :
\begin{array}{ccccc}&f&\\{E}&{\longrightarrow}&{F}\\{(e_i)}&&{(f_j)}\\Ker(f)&&Im(f)\end{array}


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