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Applications linéaires
Bonsoir,
Petit souci sur un exercice :
Démontrer que la famille E1=(1,1,0) E2=(1,0,1) E3=(0,1,1) est une base de R3.
Justifier l'existence et l'uniticité d'une application linéaire f de L(R3) telle que F(Ei)=ni avec i de {1,2,3} où n1=(1,1,-1) n2=(0,2,0) n3=(1,-1,0).
Déterminer l'expression analytique de f. Est-elle injective? surjective? bijective?
Alors voila, j'ai réussi à tout faire sauf la dernière question et à démontrer que la famille définie par E1,E2,E3 est génératrice, je n'arrive pas à simplifier, et pour la dernière j'ai défini comme application
f de R3 dans R3 qui a X=(a,b,c) asssocie sum(Xini).. mais bon rien n'est moins sur. Un petit peu d'aide serait le bienvenue 
Bonjour
Si tu as montré que les vecteurs forment une famille libre, comme ils sont 3 dans un espace de dimension 3, on sait que c'est une base, donc une famille génératrice.
On peut toujours définir une application linéaire par les images d'une base.
Si on a
A toi d'expliciter...
Pour justifier l'existence et l'unicité de l'application linéaire,
J'ai posé X=(a,b,c) de R3 alors j'ai X=aE1+bE2=cE3 et f(X)=an1+bn2+cn3 d'où la décomposition unique etc etc.. (j'ai appliqué le théorème du cours.)
D'accord alors il faut que je revoie la seconde question. Que dois-je faire pour justifier cela ?
Je pensais que j'avais le droit vu que j'ai démontré que E1,E2,E3 formaient une base de R3 ie n'importe quel vecteur de R3 admettait une décomposition unique sur une base, non?
Ah oui pardon, où avais-je la tête. Je ne vois pas où arriver pour démontrer l'existence et l'unicité de l'application et de lui en donner une expression analytique...
L'existence et l'unicité sont déjà prouvées par le simple fait que les E forment une base. Pour écrire l'expression de f, tu prends tu détermines a,b,c et tu utilises la formule de 15:01
Je m'embrouille là, peux-tu m'expliquer pas à pas la méthode, je ne sais plus quoi exprimer en fonction de quoi
On trouve x+y+z=2(a+b+c) donc a+b+c=(x+y+z)/2 d'où a=a+b+c-z=(x+y-z)/2. De même b=(x-y+z)/2 et c=(-x+y+z)/2.
Donc
que tu arranges.
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