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Applications linéaires...

Posté par
mouloud47 17-03-10 à 18:17

Bonjour à tous!

J'aimerai savoir si quelqu'un peut m'aider sur cet exo sur lequel je bloque désespérément:

E est un 4$ \mathbb{K}-espace vectoriel et fL(E) de sorte que le rang de f soit de 1
1.Montrez qu'il existe un unique 4$ \mathbb{K} tel que f2=f
2.On suppose que f n'est pas un projecteur. Montrez que f-Id est un automorphisme et donnez son automorphisme réciproque en fonction de f

J'ai beau chercher, je n'arrive à rien...

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
carpediemre : Applications linéaires... 17-03-10 à 19:02

salut

à quoi sert ?

Posté par
mouloud47re : Applications linéaires... 17-03-10 à 19:34

Ah oui j'ai oublié un lambda, je rectifie:
1.Montrez qu'il existe un unique 4$ \mathbb{K} tel que f2=f

Posté par
Mathemagicre : Applications linéaires... 17-03-10 à 19:35

Bonsoir,
Calcule la matrice dans une base adaptée, et tu auras f²=tr(f)f.

Posté par
mouloud47re : Applications linéaires... 17-03-10 à 20:07

merci beaucoup mathemagic mais le problème c'est que c'est un DM sur les applications linéaires et on peut donc pas utiliser les propriétés des matrices (en plus on a presque pas avancé le cours sur les matrices et je comprend pas ce que représente tr(f) ???)

Posté par
Camélia Correcteurre : Applications linéaires... 18-03-10 à 14:35

Bonjour

Sans matrices :

Puisque rg(f)=1, son image est de dimension 1. Soit w\neq 0\in Im(f). Mais f(w)\in Im(f), donc il existe un unique \lambda tel que f(w)=\lambda w. Montre que f o f=\lambda f

Posté par
mouloud47re : Applications linéaires... 18-03-10 à 20:04

Merci Camélia pour ton aide !
Mais je ne comprend pas pourquoi ce que tu dit garantit l'existence et l'unicité du lambda ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Applications linéaires... 19-03-10 à 14:19

Parce que (w) est une base de l'espace Im(f) qui est de dimension 1.


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