Bonjour
si l'application linéaire est bijective, les dimensions des espaces de départ et d'arrivée sont les mêmes, l'image d'une base est une base, le noyau est réduit au vecteur nul et l'image coïncide avec l'espace d'arrivée ....

oui je suis d'accord =)
ce que je ne vois pas c'est pour injective et surjective ...
je connais les définitions mais que dire lorsqu'on a des égalités par exemple

Si une application linéaire est injective alors elle est surjective.....

Si une application linéaire est surjective alors elle est injective....

En fait, en dimension finie bien sûr, une application linéaire est bijective dès qu'elle est surjective ou injective si les deux espaces sont de même dimension...

si elle est surjective  alors elle est injective et inversement ?
pourquoi ?

mais prof à par exemple écrit que si v appartient à E espace de départ et à F espace d'arrivée alors elle est surjective
je comprends pas pourquoi, à ça correspond pas à la définition de surjective ....

je  ss perdue ....

On a f linéaire de E dans F avec dim E = dim F =n.

-On suppose que f est injective.....
Alors on a (d'après la formule du rang):
dim Im f + dim ker f = n
Or f injective, donc dim ker f=0 (car le noyau ne contient que 0, ce qui est une caractérisation de l'injectivité équivalente à la définition classique). Donc dim Im f = n = dim F. D'où f est surjective.....

_ On suppose que f est surjective...
la même formule et le même raisonnement donne que dim ker f = 0. D'où f injective....

Donc un application sera injective si et seulement si elle est surjective si et seulement si elle est bijective.

donc on a ceci si f est un endomorphisme ?

sinon j'ai compris le raisonnement !! merci

est ce que tu pourrait m'expliquer pourquoi ma prof a écrit ça : si v appartient à E espace de départ et à F espace d'arrivée alors elle est surjective
merci d'avance !

Oui et non. Vrai si f est endomorphisme évidemment, mais un isomorphisme n'a pas lei qu'entre des espaces identiques (même s'ils sont de même dimension). Ils sont identiques à isomorphisme près, mais ça peut être plus général....comme par exemple si tu as une application linéaire des matrices carrées de taille n dans R^(n²).....

Je ne comprends pas bien qui est quoi....pourrais tu écrire exactement quelles sont les hypothèses? Parce que là, elles ne me paraissent vraiment pas claires....

on a en fait:
f : u=u1+u2 on a alors f(u)=u1-u2 indice 1 pour E1 et 2 pour E2 sous espaces de E qui st supplémentaires
si v est ds E v=v1+v2 v1 appartient à E1 et v2 appartient à E2
alors f(v1-v2)=v1-(-v2)=v1+v2=v
donc v appartient à Imf et f est surjective

voila je sais pas si c'est clair ....

Je ne vois pas ce qui n'est pas clair. Ta prof utilise simplement les caractéristiques de l'application linéaire....

Puisque v=v1+v2 alors il existe un antécédent de v par f qui est v1-v2....ça veut bien dire que f est surjective puisque n'importe quel v à un antécédent.

mais toutes images à un antécédant ... donc toutes applications linéaires est surjective ds ce cas ...
je ne comprends pas ...
surjective est le simple fait qu'une image ai un antécédant ?

à moins que comme v appartient à E et f(v1-v2)=v avec v1-v2 appartient aussi à
E donc Imf=E non ? et alors f est surjective ?

Oui tout élément de l'image à un antécédent. Mais là, le v n'est pas pris dans l'image (ce serait absurde comme tu l'as remarqué)! v est un élément quelconque de l'espace d'arrivée. Et on arrive à lui trouver un antécédent par f. ça signifie bien que f est surjective, non?

Être surjective signifie que l'image de ton application est tout le monde. Donc si parmi "tout le monde" n'importe qui s'exprime avec un antécédent, ça veut forcément dire que l'image est tout le monde et donc que f est surjective.

Le fait que v1-v2 soit dans E n'a strictement rien à voir. Fais gaffe, tu mélanges les définitions. Ici, f est un endomorphisme, c'est particulier. Mais ce qui rend f surjective c'est le fait que tout le monde dans E (E l'espace d'arrivée) soit atteint par f. On pourrait remplacer E par F que ça ne changerait strictement rien...

Il est vrai que les spécificités de l'application et de la décomposition de E en somme joue un rôle important dans la surjectivité mais il ne faut pas mélanger les définitions pour autant...

d'accord
merci beaucoup
c'est djéà plus clair dans ma tête !! =)