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applications linéaires, injectivité surjectivité

Posté par
rouday_s 10-04-08 à 18:22

Bonsoir
je planche sur un devoir de maths et j'ai besoin d'un peu d'aide s il vous plait.

Soit \mathbb{R}[[X]] := \Bigsum_{i=0}^\infty~\ a_iX^i , a_i \in \mathbb{R} l'ensemble des séries formelles à coefficients dans  \mathbb{R}. Soient l'addition et la multiplication avec un scalaire \lambda \in \mathbb{R} définies par :

\Bigsum_{i=0}^\infty~\ a_iX^i + \Bigsum_{i=0}^\infty~\ b_iX^i = \Bigsum_{i=0}^\infty~\ (a_i+b_i)X^i

\lambda.\Bigsum_{i=0}^\infty~\ a_iX^i = \Bigsum_{i=0}^\infty~\ (\lambda.a_i)X^i

Soit I: \mathbb{R}[[X]] --> \mathbb{R}[[X]], P = \Bigsum_{i=0}^\infty~\ a_iX^i |--> \Bigsum_{i=0}^\infty~\frac{a_i}{i+1}.X^{i+1}

*****************************************************************************************

D) Montrer que I une application linéaire. Montrer que I est injective mais n'est pas surjective

J'arrive a montrer que c est une application linéaire mais je n'arrive pas a prouver qu elle est injective et non surjective.

Posté par
jeansebre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 18:30

Bonjour

Les polynomes de degré 0 (constants) ne sont les image d'aucun polynome par I. Donc I n'est pas surjective.

Posté par
Tigweg Correcteurre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 18:30

Bonjour,

essaie de montrer que 1 n´est pas dans l´image.
L´injectivité est évidente par identification des coefficients.

Posté par
Tigweg Correcteurre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 18:31

Re jeanseb!

Tu m´as grillé de quelques secondes!

Posté par
rouday_sre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 18:32

je vois pour la surjectivité. Mais je ne comprends pas comment on fait pour l injectivité  

Posté par
jeansebre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 18:34

I est injective car les elements P de son noyau (les polynomes dont l'image est le polynome nul) sont tels que pour tout i supérieur ou egal à 0, ai/(i+1) = 0  donc ai = 0 donc P=0.

Noyau réduit à 0, donc I est injective.

Posté par
Tigweg Correcteurre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 18:34

Comme je te l´ai dit, une série formelle est nulle ssi tous ses coefficients sont nuls, donc il suffit d´identifier.

Posté par
jeansebre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 18:35

Grillé 2 fois, Tigweg! Tu es pas en forme, ou quoi?

Posté par
Tigweg Correcteurre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 18:36



Je suis sur un clavier tcheque, grrr!
Pas l´habitude!

Posté par
jeansebre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 18:42

Citation :
Je suis sur un clavier tcheque, grrr!


* Je me doutais qu'il y avait quelque chose de bizarre

* Je me suis trouvé une fois devant un clavier russe, j'ai mis une heure pour écrire à ma famille un mail de 20 lignes....Tu t'en sors pas trop mal!

Posté par
Tigweg Correcteurre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 18:53

Merci!
Mais ils n´utilisent pas l´alphabet cyrillique en Tchéquie!

Posté par
rouday_sre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 18:57

ha d'accord pour le  
c'est quoi au juste une série formelle ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:00

La définition est tres simple: c´est la suite des coefficients (ai) lorsque i décrit .

Au départ, la notation avec des X n´est donc qu´une convention d´écriture.
Mais une série formelle, c´est une suite, rien de plus.

Or une suite est nulle ssi tous ses termes sont nuls, et c´est réglé!

Posté par
Tigweg Correcteurre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:00

lorsque i décrit N, pardon.

Posté par
rouday_sre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:01

attends j'ai encore quelques petites questions qui me prennent la tete lol
E) Trouver une application linéaire de R[[X]]--> R[[X]] telle que
D \0 I = Id
Rebelote Montrer que D est surjective mais pas injective

Posté par
Tigweg Correcteurre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:03

Qu´appelles-tu I?

Posté par
rouday_sre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:04

I est l'application de {R}[[X]] --> \mathbb{R}[[X]], P = \Bigsum_{i=0}^\infty~\ a_iX^i       |--> \Bigsum_{i=0}^\infty~\frac{a_i}{i+1}.X^{i+1}

Posté par
rouday_sre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:04

oula
P = \Bigsum_{i=0}^\infty~\ a_iX^i |--> \Bigsum_{i=0}^\infty~\frac{a_i}{i+1}.X^{i+1}

Posté par
Tigweg Correcteurre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:07

Ah oui, désolé, j´avais oublié!

I est l´application qui a une série formelle associe sa primitive qui s´annule en 0, l´as-tu remarqué?
Par conséquent, il est raisonnable de supputer que son application réciproque soit la dérivation, dont je te laisse écrire l´action sur un polynome P quelconque.

Posté par
jeansebre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:08

Ben D, c'est la dérivée

Posté par
rouday_sre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:08

heu jvais paraitre bete mais pourquoi on parle de primitive ?

Posté par
jeansebre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:08

Damned! Grillé!

Posté par
Tigweg Correcteurre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:10

Et plusieurs fois!

I(P) est bien une primitive de P, non?

Posté par
jeansebre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:11

Bon, je te laisse...

Posté par
Tigweg Correcteurre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:13

Reste donc jeanseb!
Je ne vais pas tarder, de toute facon!

Posté par
rouday_sre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:14

j'suis désolé mais jcomprends pas d où I(P) est une primitive P

Posté par
Tigweg Correcteurre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:15

Peux-tu me donner une primitive de aiXi?

Posté par
rouday_sre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:24

heu
\frac{X^{i+1}}{i+1} \times a_i

Posté par
Tigweg Correcteurre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:28

Oui!

Tu vois bien que c´est le terme générique de I(P) qui revient, il n´y a plus qu´a sommer sur i.
Donc c´est bien ce que je te disais.

Propose une expression pour D(P) a présent.

Posté par
rouday_sre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:34

je ne sais pas ce qu'est D

Posté par
Tigweg Correcteurre : applications linéaires, injectivité surjectivité 10-04-08 à 19:37

La dérivation, comme nous l´avons dit avant.

Posté par
rouday_sre : applications linéaires, injectivité surjectivité 12-04-08 à 17:14

J'ai planché sur l'exo. J'ai compris l'histoire de I(P) est la primitive de P . Cela dit je ne comprends pas comment on voit que D est une dérivée (Est ce que D est la dérivée des ai/i+1 ?). J'avais demandé à mon prof qui m'avait dit de chercher des relations avec les dérivées et tout .Mais j'arrive pas à comprendre a quelle dérivée D doit correspondre.
Comment on prouve que DoI=Id
si quelqu un pouvait m'expliquer pour que je sois clair avec moi meme ca serait sympatoche

Posté par
jeansebre : applications linéaires, injectivité surjectivité 12-04-08 à 17:17

Bonjour

Quelle est la dérivée du monôme Xn ?

Posté par
rouday_sre : applications linéaires, injectivité surjectivité 12-04-08 à 17:19

(X^n)' = nX^{n-1}

Posté par
jeansebre : applications linéaires, injectivité surjectivité 12-04-08 à 17:20

Quelle est la dérivée du monôme Xi+1 ?

Quelle est la dérivée du monôme \frac{X^{i+1}}{i+1} ?

Quelle est la dérivée du polynôme \Bigsum_0^n\frac{X^{i+1}}{i+1} ?

Posté par
rouday_sre : applications linéaires, injectivité surjectivité 12-04-08 à 17:28

(X^{i+1})' = (i+1)X^i

(\frac{X^{i+1}}{i+1})'= \frac{(i+1)Xî.(i+1)}{(i+1)^2} = x^i

Posté par
jeansebre : applications linéaires, injectivité surjectivité 12-04-08 à 17:32

D o I:

P = \Bigsum_0^n {X^{i} ---(I)---> \Bigsum_0^n\frac{X^{i+1}}{(i+1)}--- (D)--->\Bigsum_0^n (i+1)\frac{X^{(i+1)-1}}{(i+1)}= \Bigsum_0^n (i+1)\frac{X^{i}}{(i+1)} = \Bigsum_0^n {X^{i}=P

Donc D o I est l'identité.

C'est normal: I est l'intégration, son application "réciproque"  est la dérivation.

Posté par
rouday_sre : applications linéaires, injectivité surjectivité 12-04-08 à 17:36

ha oui d'accord je n'avais pas compris l'exercice comme cela. Merci pour ta patience jeanseb. Cela dit jme pose une question si on imagine un polynome P de R[X] et I(P) = P est ce qu on peut montrer que P est nul ?

Posté par
jeansebre : applications linéaires, injectivité surjectivité 12-04-08 à 17:46

Oui:

Si P n'est pas nul, il a un degré n, entier supérieur ou égal à 0.

I(P) a un degré (n+1), donc I(P) est forcément différent de P.

Donc si I(P) = P, ça ne peut être que le polynôme nul (dont le degré est -)

On vérifie que pour le polynome nul, I(0) = 0

En effet, les ai sont tous nuls, donc les ai/(i+1) seront aussi tous nuls, donc I(0) = 0.

Non?

Posté par
rouday_sre : applications linéaires, injectivité surjectivité 12-04-08 à 17:49

ok dac c'est plus clair tout ca! Merci vraiment jeanseb!! je vais pouvoir continuer mon exo grâce à toi.
Bonne fin d'après midi

Posté par
jeansebre : applications linéaires, injectivité surjectivité 12-04-08 à 17:52

C'était un plaisir!

Bon après-midi aussi!

Posté par
rouday_sre : applications linéaires, injectivité surjectivité 12-04-08 à 17:53

merci beaucoup!!


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