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Appplication linéaire surjective, non injective
Bonjour, je suis en train de faire un DM de maths et je suis un peu embêté pour une question... Si quelqu'un a une petite idée.... Merci d'avance...
Soit E= C0([-pi/2 ;pi/2],R). Soit
:E-->R l'application définie par :
f
E,
(f)= -pi/2
pi/2f(t)dt.
1) Montrer que est une forme linéaire sur E.
C'est fait.
2) Montrer que n'est pas injective.
J'ai calculé le noyau, or celui est l'ensemble des fonctions appartenant à E à intégrale nulle sur [-pi/2,pi/2], d'où non injective.
3) montrer que est surjective
Je calcule Im()= {-pi/2pi/2f(t)dt | fE}.
Mis comment montrer que c'est égal à R ?
Bonjour
soit a de IR, il existe toujours une fonction que si l'on intègre en -pi/2 et pi/2 on aura a ...
prendre la fonction constante en a/pi par exemple
mais c'est juste pour une fonction f particulière, non ? ou bien comme a parcourt R, cela prend toutes les valeurs possibles ?
Pour a dans R fixé mais quelconque, tu as trouvé une fonction f telle que (f)=a. C'est bien la définition de la surjectivité, non?
d'ailleurs pour la non injectivité faut donner un exemple d'application dont l'intégrale est nulle (ça existe ?)
Pour la surjectivité il te suffit aussi de donner un exemple d'applicatin d'intégrale non nulle : une application linéaire non nulle a pour image un espace vectoriel de dimension >= 1 si l'image est R c'est que l'application est surjective.
Pour la non injectivité, il suffit que je prenne la fonction nulle, ou même sin(x).
Pour la surjectivité cos(x) a une intégrale non nulle.
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