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Arithmétique
Posté par Emilyff
Bonjour,
Je suis coincée sur mon devoir.Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? Merci.
Voici la question :
On considère l'équation (E):x²-5y²=1
x et y étant des entiers naturels.
1) x et y peuvent-ils avoir la même parité ?
2)Soit k un entier naturel, compléter le tableau
k≡ ....(5) 1 2 3 4
k² ≡ ....(5) 1 4 9 16
3)En déduire que :x ≡1(5) ou x≡4(5)
4)Trouver alors une solution non triviale, différente de (1;0).
Je sais que dans ce forum,il faut écrire nos recherches mais là je ne sais pas où commencer.
Merci.
Je peux faire comme ça la 1 question ?
Merci.
supposons x et y PAIRS :
x = 2k et y = 2m donne :
(2k)² - 5(2m)² = 1
4k² - 20m² = 1
4(k² - 5m²) = 1
cette équation n' admet pas de solution!
■on peut supposer de même x et y IMPAIRS
conclusion:
x et y ne peuvent pas avoir la même parité !
■ supposons x IMPAIR et y PAIR:
(2k+1)2-5(2m)² = 1
4k²+4k 20m² = 0
k²+k - 5m² = 0
tableau des solutions:
x --> 1 9--> IMPAIRs
k --> 0 4
y --> 0 4 PAIRS
m -> 0 2
solution non triviale cherchée : (x; y) = (9; 4).
Bonjour
Je reviens à la question 1. Comment traduiriez- vous en terme de congruence qu'un entier a est pair ? qu'il est impair ? Ne serait il pas plus aisé alors, en utilisant les propriétés des congruences de même module, de prouver que x et y ne peuvent avoir la même parité ?
Mes messages précédents avaient juste pour but de montrer que le problème n'avait pas que comme solution.
Bonjour,
Pour 1), il suffit d'étudier deux cas :
a) x et y son pairs.
b) x et y sont impairs.
Et trouver dans les deux cas que x2-5y2 est pair.
Pour le démontrer, on peut utiliser des congruences modulo 2.
Mais raisonner sans congruence marche très bien.
Bonjour,
Une remarque sur les questions 2) et 3) :
Utiliser des congruences pour démontrer que l'un des entiers x+1 ou x-1 est divisible par 5, c'est un peu utiliser un marteau pilon pour écraser une mouche.
L'équation est équivalente à (x-1)(x+1) = 5y2.
L'entier premier 5 divise le produit (x-1)(x+1) ; donc....
Bonjour Madame. Cet exercice était visiblement un exercice d'application concernant les congruences. Répondre en terme de congruence est ce qui est attendu.
Votre remarque est judicieuse dans un deuxième temps, après que le cours suivi par l'élève aura progressé. L'élève pourra alors apprécier ce deuxième point de vue : appliquer Gauss est nettement plus efficace.
Cordialement.
Bonjour Armen,
Oui, l'énoncé est très clair avec le "en déduire".
Par ailleurs, j'ai cherché d'autres solutions :
(2889,1292) et (51841,23184).
Il y en a certainement encore d'autres 
PS Mes messages précédents s'adressaient à Emilyff.
salut
ce n'est pas parce qu'on est dans la leçon "congruence" qu'il faut utiliser des congruences pour tout et n'importe quoi !!
la question 2/ demande un tableau de congruence donc on le remplit évidemment avec les résultats congrus modulo 5 donc on n'y écrit sûrement pas 9 et 16 mais des valeurs entre 0 et 4 !!
la question 3/ s'en déduit immédiatement ...
Bonjour,
Citation :
Par ailleurs, j'ai cherché d'autres solutions :
(2889,1292) et (51841,23184)
Il y en a certainement encore d'autres.
Par ailleurs, j'ai cherché d'autres solutions :
(2889,1292) et (51841,23184)
Il y en a certainement encore d'autres.
pour info il s'agit d'une "équation de Pell" (ou de Pell-Fermat)
dont toutes les solutions (en nombre infini) s'obtiennent par récurrence :
xn+1 = 9xn + 20yn
yn+1 = 4xn + 9yn
x0=1, y0 = 0 (solution triviale)
les coefficients 9 et 4 sont la solution "fondamentale" (x1, y1) = (9, 4) (= la plus petite solution non triviale) et 20 = 5y1
ce qui donne (x, y) = (1, 0) (9, 4) (161, 72) (2889, 1292) (51841, 23184) (930249, 416020) (16692641, 7465176) (299537289, 133957148) etc
l'exo demande juste :
une solution non triviale (autre que 1, 0)
il est logique de trouver la plus petite !
il n'en demandait pas d'autres.
@mathafou,
Oui, j'avais cherché un peu et trouvé des résultats sur les équations de la forme x2 - dy2 = 1 .
A partir d'une solution non triviale (x1, y1) on en trouve une infinité avec les coefficients du développement de .
@Armen,
La page 24 du fichier obtenu par le lien ci-dessous m'a semblé intéressant.
