Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Arithmétique et polynomes
Bonjour,
il y quelque chose que je ne maitrise pas du tout c'est les 
/n et que l'on utilise beaucoup avec les polynomes ...
par exemple un exercice ou j'ai rien compris :
on demande de calculer la racine du polynôme X^5 - X dans /5
on a /5 = { 0, 1 , 2 , 3 ,4}
on nous dit -1 = 4 et ca je ne comprends pas du touuuuut !
ensuite on trouve comme solution 0,1, 4 , 3 , 2 a l'aide d'une decomposition :
X^5-x = X ( X^2 +1) (X+1) (X-1)
mais je ne comprends pas comment on en déduit ça, quel méthode faut il utiliser ?
voila merci
Bonjour
Bien sur il faut avoir compris ce qu'est Z/5Z. Il s'agit des classes modulo 5. On a m=n si m-n est divisible par 5. Comme 4-(-1)=5, on a bien -1=4 dans Z/5Z.
Ensuite, pour un polynôme, on commence par décomposer comme d'habitude, (ce qui est vrai à coefficients dans n'importe quoi!). La seule question est maintenant de savoir si
est irréductible ou non. Au moins par essais on voit que
donc 2 et -2=3 sont racines.
Réponse: (tous les éléments de Z/5Z sont racines (c'est aussi une conséquance de "petit Fermat")
Bonjour,
On séquence en 5 sous-ensembles comme ci-dessous.
{....,-10,-5,0,5,10...}
{.....,-9,-4,+1,+6,+11...}
{..... ,-8,-3,+2,+7,+12...}
{......,-7,..,+3,...+13...}
{.......-6.....+4,....+14...}
A chacun de ces ensembles de relatifs on le désigne par un nom. On a décidé qu'on prendrait pour nom de chacun de ces ensensembles le premier entier positif ou nul qui lui appartient. Au premier ensemble on le note 0 le deuxième est noté 1...etc.
On appelle /5 l'ensemble constitué des cinq ensembles précédents (qu'on appelle des classes)
Cet ensemble /5est donc constitué de 5 classes notées :
0,1,2,3,4
Pour pouvoir "faire quelquechose" avec /5on a décidé de le munir d'une addition et d'une multiplication (opérations qui vont ressembler aux opérations de )
{.....,-9,-4,+1,+6,+11...}+{......,-7,..,+3,...+13...}={.......-6.....+4,....+14...}
ainsi dans /5 on écrit : 1+3=4
{..... ,-8,-3,+2,+7,+12...}+{.......-6.....+4,....+14...}={.....,-9,-4,+1,+6,+11...}
ainsi dans /5 on écrit : 2+4=1
autre propriété :
dans deux nombres sont opposés s'ils ont une somme nulle
ainsi dans /5 deux classes seront opposées si elles ont une somme nulle
on constate alors que 1+4=0
donc 4 est l'opposé de 1
de même 2+3=0 et 2 et 3 sont opposés etc...
dans /5 on a : 2x3=1 donc 2 et 3 sont inverses l'un de l'autre etc...
Dernier point dans /5se factorise de la façon suivante :
=X(X²-1)=X(X-1)(X+1)=X(X+4)(X+1)
Je te rappelle que -1 est l'opposé de 1 dans /5qui est le nombre (ou la classe)4 !
bonjour,
juste pour une petite verif, si j'ai bien compris.
trouver les racines de X² dans Z/4Z
{0,1,2,3}
X² = (X-0).(X-0) donc O est racine
2² + 0 = 4 = 0 donc 2 = 0 ainsi 2 est aussi une racine ...
c'est juste ?
Bonne fin de journée
C'est bien ça! Il faut se méfier des anneaux qui ne sont pas intègres...
Cherche les racines de dans Z/15Z.
Voilà! Un polynôme de degré 2 peut avoir 4 racines sans être nul! ce qui bien sur ne peut pas arriver dans un corps (ou même dans un anneau intègre).
par contre j'ai un autre exemple ou je trouve pas pareil c pour X² - X dans Z/Z6
je trouve comme racines : 1 , 0 et il faut trouver 1 0 3 4
Ben oui! De toute façon donc 0 et 1 OK. Mais pour X=4, on a bien
et pour X=3 on a
Pour bien faire, il faut aussi dire que 2 et 5 ne sont pas racines!
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac