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automorphisme
Bonjour, merci d'avance pour votre aide, voici l'exercice:
On a f une application de R3 dans R3 telle qu'à un vecteur (x, y, z) on associe (y, 2x+2z, y).
On nous demande de montrer que c'est un endomorphisme, ce qui est fait en étudiant f(a.u+b.v) avec (a,b) scalaires, (u,v) vecteurs.
On détermine ensuite Ker f, grace à la définition du Ker: Kerf = VectR3((1,0,-1)).
Puis on détermine une base de Imf. On choisit donc deux vecteurs de Imf, (0,0,0) et (1,0,1) qui ne sont pas colinéaires et forment donc une base de Imf.
Puis on nous demande si f est un automorphisme, par application du théorème du rang, il suffit de montrer que f est injective. La se pose le problème, je prends donc u et v deux vecteurs de R3 tels que f(u)=f(v) et je résoud le système sauf que je me retrouve avec y=y' et x+y=x'+y', donc pas de réelle conclusion sur l'injectivité... une solution?
Merci beaucoup!
Bonsoir.
Automorphisme signifie bijection linéaire. Comme ici le noyau n'est pas réduit à {0E}, f n'est pas injective, donc pas bijective.
oui c'est ce que j'étais en train de me dire, mais ca me semble assez suspect... puisqu'on nous demande précisément "L'endormorphisme f est-il un automorphisme? Si oui, expliciter sa réciproque". Est-ce que mon Ker(f) est juste? Merci
Oui ton kernel est juste.
Toute façon on voit bien que (1,0,-1) est dedans donc ton application ne peut pas être injective.
automorphisme de E = isomorphisme de E dans E
Ton noyau est correct. f n'est pas un automorphisme de R3 (isomorphisme de R3 vers R3).
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