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Autour de la fonction gamma

Posté par
H_aldnoer 24-08-09 à 23:04

Bonsoir !

Un petit souci sur une intégrale ... \Large \Bigint_{0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{t}(1+t)}dt. J'ai cherché pendant un moment avant de regarder la correction qui propose un changement de variable en \Large t=tan^2(u) et on retrouve la valeur de \Large\pi

Et puis je me suis souvenu d'un truc : on a \Large \Bigint_{0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{t}(1+t)}dt=\Bigint_{0}^{+\infty}\frac{t^{\frac{1}{2}-1}}{(1+t)}dt. On se ramène à la forme \Large \Bigint_{0}^{+\infty}\frac{t^{\lambda-1}}{(1+t)}dt et qui vaut \Large\Gamma(\lambda)\Gamma(1-\lambda) (on avait vu ça l'année dernière).

Donc si je ne me trompe pas, on a \Large \pi=\Gamm(\frac{1}{2})^2

Posté par
olive_68re : Autour de la fonction gamma 24-08-09 à 23:08

Salut

Il faut croire que tu as raison, j'ai vu ça sur un autre forum \to

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Autour de la fonction gamma 24-08-09 à 23:11

Salut

Oui ... C'est même l'intégrale de Gauss ..

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Autour de la fonction gamma 24-08-09 à 23:11

Salut olive

Posté par
olive_68re : Autour de la fonction gamma 24-08-09 à 23:12

Salut monrow

Posté par
H_aldnoerre : Autour de la fonction gamma 24-08-09 à 23:14

Bonsoir

Comment calculer \Large\Gamm(\frac{1}{2}) sans passer par la formule des compléments ?

Posté par
perroquetre : Autour de la fonction gamma 24-08-09 à 23:20

Bonjour, H_aldnoer

Tout ce que tu as écrit est exact.
Mais pour calculer l'intégrale de départ, il y a un changement de variable plus naturel:     t=u^2.

On peut aussi remarquer qu'une primitive de   3$ \frac{1}{\sqrt{t}(1+t)}   est     3$ 2 \ {\rm arctan}(\sqrt{t})

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Autour de la fonction gamma 24-08-09 à 23:20

\Large\Gamma (\frac{1}{2})=\Bigint_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} dt=\Bigint_{0}^{\infty} 2e^{-t^2} dt (en posant t=u²) et là tu l'intégrale de Gauss que tu sais calculer par plusieurs méthodes (intégrales doubles, à paramètres ou autre)

Posté par
perroquetre : Autour de la fonction gamma 24-08-09 à 23:22

Bonjour à tous  

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Autour de la fonction gamma 24-08-09 à 23:23

Salut perroquet Ça fait longtemps !

Posté par
H_aldnoerre : Autour de la fonction gamma 24-08-09 à 23:23

Merci à tous.


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