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Autre calcul de borne supérieur
Voici un deuxième exercice où j'échoue.
Exercice :
Soient A et B deux parties non vides de 
, on note :
A+B = { x 
| 
(a,b) A x B, x= a + b }
-A = { x | -x A }
1. On suppose que A et B sont majorées, montrer que A + B admet une borne supérieure dans et que Sup(A+B) = Sup ( A ) + Sup ( B )
2. On suppose que A est majorée, montrer que - A admet une borne inférieure dans et que Inf ( -A ) = - Sup ( A )
La je ne comprend encore rien.
m = sup (A)
n= sup (B)
p= sup(A+B)
1) il faut montrer que m+n=p
pour cela, on sait que pour tout x de A et pour tout y de B
on a m >= x et n>=y
cela signifie que pour tout z de A+B, il existe x de A et y de B tel que z = x+y <= m+n
m+n est un majorant de A+B
donc m+n est supérieur ou égal au plus petit majorant de A+B qui est p
on a montré que m+n >= p......
Il faut ensuite montrer que p >= m+n
c'est plus difficile
j'ai quelques minutes, je commence...
pour montrer que p >= m+n
quelque soit x de A,
on le considère comme fixé dans un premier temps....
pour tout y de B
p >= x + y car p est un majorant de A+B
donc p-x >= y pour tout y de B
donc p-x est un majorant de B
donc p-x >= n
donc p-n>x
on a montré que pour tout x de A, p-n >= x
donc p-n est un majorant de A
donc p-n >= m
donc on a montré que
p>= m+n
La propriété utilisée: tout majorant d'un ensemble est supérieur à la borne supérieure.....
est-ce clair?
bonjour,...
c'était la 2ème partie de la question 1.....
mais j'ai l'impression que ça n'a pas été compris....
Oui en effet je me perd dans tes calculs et en plus tu rajoute de la dificulté, en nommant les bornes par des lettres et je ne voit pas comment ta double inégalités peut m'aider pour prouver que A+B ont une borne supérieur et Sup(A+B) = Sup A + Sup B.
Désolé je suis nul 
on peut reprendre et expliquer les étapes.....
je recommence tout:
m = sup (A)
n= sup (B)
p= sup(A+B)
est-ce que ça pose un problème ?
on sait que:
A est majorée donc elle admet une borne supérieure m.
B est majorée donc elle admet une borne supérieure n.
alors je prends un élément quelconque de A+B et je montre qu'il est inférieur à m+n
pour cela, on sait que pour tout x de A et pour tout y de B
on a m >= x et n>=y
cela signifie que pour tout z de A+B, il existe x de A et y de B tel que z = x+y <= m+n
m+n est un majorant de A+B
donc A+b est majoré, il possède une borne supérieure que je note p
m+n est un majorant de A+B
donc m+n est supérieur ou égal au plus petit majorant de A+B qui est p
on a montré que m+n >= p
est-ce clair, c'est la première partie de la question 1)
pour la partie 2 de la question 1:
on veut montrer que: p >= m+n
1.
quelque soit x de A,
on le considère comme fixé dans un premier temps....
donc on ne touche pas à x et on fait comme si on le connaissait bien...
2.
pour tout y de B
p >= x + y car p est un majorant de A+B
c'est la définition d'un majorant...
3.
donc p-x >= y pour tout y de B
donc p-x est un majorant de B
donc p-x >= n
calcul simple.
4.
donc p-n>x
5.
on a montré que pour tout x de A,
p-n >= x
donc p-n est un majorant de A
donc p-n >= m
6.
donc on a montré que
p>= m+n
est-ce clair?
ou alors quels points sont bien compris et quels points sont mal compris ?
en résumé:
7.
on avait montré que:
m+n >= p
on vient de montrer que
p>= m+n
DONC m+n=p
2. On suppose que A est majorée, montrer que - A admet une borne inférieure dans R et que Inf ( -A ) = - Sup ( A )
1. A est majorée donc admet une borne supérieure notée m
2. m est un majorant de A
soit x un élément de (-A)
on a -x élément de A
donc -x <= m
donc x >=( - m )
donc -m est un minorant de -A....
Ensuite il faut montrer que -m est le plus grand minorant de (-A) c'est à dire....
pour tout réel s,si s est un minorant de (-A) alors s <= (-m)
allez, c'est un bon exercice et je corrigerai les fautes...
Ensuite il faut montrer que -m est le plus grand minorant de (-A) c'est à dire....
pour tout réel s,si s est un minorant de (-A) alors s <= (-m)
soit s un minorant de (-A)
pour tout x de A, on a - x appartient à (-A)
donc -x >= s
donc x <= - s
on a montré que pour tout x de A, x<= (-s) donc (-s) est un majorant de A
comme m est le plus petit majorant de a, on a (-s) >= m
donc s <= -m
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