Bonjour, nel59

Puisque R_n[X] est de dimension n+1, il suffit de montrer que (P_0,...,P_n) est une famille libre.
On considère donc l'égalité:


On montre par récurrence que  

On pose X=1 dans l'égalité. On obtient:  

Supposons  

L'égalité de départ s'écrit alors:    


Et, en posant X=1 dans cette égalité, on obtient  

Pourquoi peut-on poser ₀=...=_k=0?? quel est l'argument qui me le permet ?!

Ensuite je comprends ce que vous avez marqué mais j'ai un petit problème pour la fin car vous trouvez que _k+1 = 0 donc il faut continuer jusquà _n ?? par récurrence ?

J'ai montré  que HR_0 est vraie et j'ai montré que si   HR_0 ... HR_k sont vraies, alors  HR_{k+1} est vraie.
Donc,  HR_n est vraie


(en notant HR_k la propriété    )

Ha daccord c'est plus clair
Merci beaucoup!! bonne soirée

Juste un dernier point!
Pour m = (n-1)/2
je dois montrer que B1 = (1,X,X²,...,X^m,P₀,...,P_m) est une base de R_n[X].
Dois-je le montrer par le théorème de la base incomplète ?
Désolé après je vous embêtes plus! merci

Ou alors dois-je aussi le montrer par récurrence ?! en écrivant _k=1^m (_kX^k+_kP_k) = 0 ?

L'égalité      peut s'écrire:


        (ne pas oublier que  n=2m+1)

Si les deux termes de l'égalité n'étaient pas nuls, on aurait un polynôme de degré inférieur ou égal à m qui serait égal à un polynôme de degré supérieur ouégal à m+1, ce qui est absurde. Donc:

     et      

...

Donc tous les k = 0 car les X^kforment une base pour k = 0, ..., n
De m pour les _k..
Donc je peux reunir les deux bases pour en former qu'une ??!! oula je suis pas sur du tout!

Comment définir une matrice de u dans cette base ?, je sais qu'elle est de taille n mais je ne sais pas quoi mettre dans la matrice !

Ce qui précédait montrait que    est une famille libre (donc une base de R_n[X] parce que son nombre d'éléments est égal à la dimension de R_n[X])

Pour ce qui est de la matrice de u dans cette base:
Il aurait fallu définir u...

U est l'endormorphisme de Rn[X] tel que
A = 1   2  1
    1   0 -1
    1 - 2  1    
  = M _B(u) dans la base B = (1,X,X²,...,Xⁿ).
Pour écrire M_B[sub]1[/sub](u) avec B₁ = (1,X,X^{2_,...,X[sup]m},P[sub]0,P₁,...,P_m).
Qie fois-je utiliser comme matrice de passage ?
A est de dimension 3 alors que l'autre sera de dimension m non? je bloque...

Merci de me répondre.
Bien cordialement.

Il y a effet un problème dans cet énoncé. Cela voudrait dire que n=2. Mais dans les constructions précédentes, n était supposé impair.

Donc, ici, la question posée n'a pas de sens.

Oui excusez-moi je reprend donc l'énoncé.

Soit n un entier 2; pour i entier variant de 0 à n, on considère le polynôme : P_i(X) = (1-X)ⁱ(1+X)^n-i;
si a_ij est le coefficient de X^i-1dans P_j-1, soit A = (a_ij)M_n+1(R); on note E = R_n[X] et B = (1,X,X²,...,Xⁿ) la base canonique de E.
Soit u l'endormorphisme de E tel que A = M_B(u) soit la matrice de u dans la base B.
On suppose dans cette question que n est impair et on pose m = (n-1)/2.
Soit B₁ = (1,X,X²,...,X^m,P₀,...,P_m) une base de E.

Déterminer M_B1(u), la matrice de u dans la base B₁.
En déduire le déterminant et la trace de A.

Je n'arrive déjà pas à trouver A dans la base B alors pour la trouver dans la base B₁ cela me pose un gros problème....
Pouvez-vous éventuellement m'aider ?!

Merci
Cordialement

Bonjour,

Soit n entier 2; pour i variant de 0 à n, on considère le polynôme : P_i(X) = (1-X)ⁱ(1+X)^n-i; si a_ij est le coefficient de X^i-1 dans P_j-1, soit A =(a_ij)M_n+1(R); on note E = R_n[X] et B = (1,X,X²,...,Xⁿ) la base canonique de E.

Soit u l'endomorphisme de E tel que A = M_B(u) soit la matrice de u dans la base B.

On suppose que n est impair et on pose m = (n-1)/2

1)Comment montrer que B₁=(1,X,X²,...,X^m,P₀,...,P_m) est une base?

2)Comment déterminer M_B[sub]1[/sub](u), la matrice de u dans la base B₁; puis comment en déduire le déterminant et la trace de A ?

Pouvez-vous m'aider svp?!

*** message déplacé ***

Mon message a été deplacé a quel endroit ?
Je n'ai toujours pas eu de réponse à ma question et j'ai été exclu temporairement du forum car j'essaie d'attirer les lecteurs à m'aider....