je voulais mettre le sujet ds analyse
dsl

Bonsoir,

La difficulté, c'est que l'espace vectoriel de départ et celui d'arrivée de l'application f sont différents.

f : ₃[X] ⁴

L'espace d'arrivée n'est pas un espace de polynômes.

La base canonique de ₃[X] est (1, X, X², X³), alors que celle de ⁴ est
((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)).

Pour former la matrice de f, il faut choisir une base de l'espace de départ et une base de l'espace d'arrivée.

En choisissant les deux bases canoniques, on obtient bien la matrice :

1 1 1   1
1 2 4   8
1 3 9   27
1 4 16  64

ah d'accord les espaces de départ et d'arrivée sont différents ...
je crois comprendre ! merci

ce qui m'échappe surtout c'est pourquoi une fois qu'on a fait l'image du vecteur on ne doit pas chercher sa décomposition sur la base canonique ( on l'a tout de suite )?

merci beaucoup

"Pour former la matrice de f, il faut choisir une base de l'espace de départ et une base de l'espace d'arrivée."

ceci signifie bien prendre l'image des vecteurs de la base de départ et trouver leur décomposition dans la base d'arrivée ?

Oui, c'est ça. C'est bien ce qu'on fait ici.

Par exemple f(X) = (1,2,3,4) = 1.(1,0,0,0) + 2.(0,1,0,0) + 3.(0,0,1,0) + 4.(0,0,0,1)

ça donne les composantes de f(X) dans la base canonique de R⁴ et donc la 2ème colonne de la matrice.

oui je ss d'accord
mais pourquoi on les obtient directemment dans cette base ?

j'ai répondus un peu vite ce matin avant d'aller en cours ...
dsl

en fait ce que je comprends pas c'est pourquoi les vecteurs sont directement obtenus dans la base canonique ?
comment savoir si quand on fait l'image d'un vecteur on l'obtiendra dans la base canonique de l'espace d'arrivée ... ?

et je ne sais pas si qqun à un exercice avec un changement de base car j'aimerais m'entrainer mais j'en ai pas ....

merci d'avance de votre aide car je me sens vraiment perdue ...

Mais c'est parce que c'est justement la base canonique de R⁴.
Dans cette base, les coordonnées d'un vecteur (a,b,c,d) sont précisément a, b, c et d. Elle est faite pour ça.
Comme l'application f est définie en donnant les quatre composantes de f(P), c'est normal qu'on retrouve directement leur expression dans la base canonique.

Si tu veux t'exercer, tu n'a qu'à essayer d'exprimer la matrice par rapport aux bases (1,X,X²,X³) de R₃[X] et (1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1) de R⁴.

oui je vois bien que c'est effectivement l'expression dans la base canonique
mais j'ai du mal à comprendre pourquoi on l'a directement ...
moi j'aurais tendance à chercher la décomposition et voir que c'est effectivement dans la base canonique ( et je perds mon temps ... )
à partir du moment où l'application est définie en donnant le bon nombre de vecteurs on tombent directement ds la base canonique ? qd est ce qu'il y a un risque de pas retomber dans la base canonique ?

dans l'exercice que tu me proposes je dois donc trouver les l'image des vecteurs de la base canonique de R3[X] et trouver leur décomposition sur la nouvelle base que tu m'as donner si j'ai bien compris =)
je fais ça ce soir ou demain ( car j'ai encore du boulo ) et je te l'écrit demain

merci de ta patience =)

voila j'ai trouvé la matrice :

0 -1 -3 -3
0 -1 -5 -12
0 -1 -5 -48
1  4 16  64

voili
j'espere que je me ss pas trompée ...

Bonsoir

C'est plutôt :

0 -1  -3 -7
0 -1  -5 -19
0 -1  -7 -37
1  4  16  64

Non ?

oui surement j'ai du faire des erreurs de calculs ...

j'ai une autre petite question
on me donne
P1=(X-2)(X-3)(X-4)
P2=(X-1)(X-3)(X-4)
P3=(X-1)(X-2)(X-4)
P4=-X-1)(X-2)(X-4)
idem pour P3 et P4
on doit monntrer qu (P1 P2 P3 P4) est une base
je l'ai fait
après je dois trouver la matrice relativement à cette base
je trouve donc f(P1)=(-6,0,0,0,)  f(P2)=(0,3,0,0)
f(P3)=(0,0,-2,0)
f(P4)=(0,0,0,12)
mais je ne sais pas sur quelle base j'obtient mes vecteurs ...
sur la nouvelle base ou sur la base canonique ...
et je ne sais d'ailleurs pas comment trouver leur décompositon sur ma nouvelle base ( en décomposant et en trouvant les coefficients ...

merci d'avance pour ta réponse

Mais la base (P1, P2, P3, P4) est une base de l'espace de départ, pas de l'espace d'arrivée.
Dans l'espace d'arrivée, il y a des quadruplets de réels, pas des polynômes (sauf si tu identifies R₃[X] avec R⁴, mais ça n'a pas l'air d'être le cas).
Donc tu ne peux pas exprimer f(P1) par exemple dans ta nouvelle base de R₃[X], puisque f(P1) n'est pas un polynôme.

Quel est l'énoncé exact de ton exercice. Comment est définie f au début ?

Sinon, si tu veux la matrice de f par rapport à la base (P_i) et à la base canonique de R⁴, c'est immédiat :

-6 0 0  0
0  3 0  0
0  0 -2 0
0  0 0  12

(si tes calculs sont justes)

ah oui je peux pas exprimer f(P1) en fonction de P1 et tt et tt !
je comprends !!
donc la base d'arrivée est encore la base canonique de R4 !
l'énoncé de l'exercice je l'ai pas réellement car c'était un exo de colle que je croyais avoir compris
et f était de R3[X] sur R4
je crois que cette fois j'ai compris !
merci beaucoup !!!
=)

De rien