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base d'un espace vectoriel
salut à tous!
j'ai un problème avec cet exercice.
on note C([a,b]) le R-espace vectoriel des fonctions continues sur [a,b].Soit [N]appartient[N] et soit les réels a_0,a_1,...a_N vérifiant a=a_0<a_1<.....<a_N =b .on considère E le sous-ensemble de C([a,b]) formé des fonctions définies sur [a,b] dont les restrictions à chacun des intervalles [a_i,a_(i+1)] sont affines.
1) montrer que E est un espace vectoriel
2)soit i appartient[{0,1,....N}] ,on note delta[i] l'unique fonction de E qui vérifie delta[i]([ai])=1 et delta[j]([aj])=0 si [i]different[j]. Montrer que B={delta[0],...delta[N]} est une base de E.
en fait pour la première question je connais les propriétés mais je ne sais pas comment les appliquer avec des fonctions .pour la seconde je ne vois pas comment procéder pour montrer que la famille B est libre et génératrice.
quelqu'un peut-il m'éclairer? merci d'avance!
par ailleurs on sait que la fonction phi telle que phi[i](x)= valeur absolue (x - a_i) quelque soit x appartenant à [a,b] et la fonction f telle que f(a_i)=alpha[i] ,appartiennent à E.
vérifie que la fonction nulle est affine par morceaux
la somme de deux fonctions affines par morceaux est encore affine par morceaux
et que le produit par un scalaire d'une fonction affine par morceaux est encore affine par morceaux
.
ecris les equations des deux segments de droite,
entre ai et ai+1
correspondants aux generateurs delta i et delta i+1
en les combinant on doit pouvoir obtenir un segment de droite quelconque y=ax+b
le problème est que je n'arrive pas à comprendre le raisonnement. comment cela montre- t-il que B est une base de E?
ça c'est juste pour prouver que les delta i sont generateurs et la redaction reste a mettre en forme
ensuite il faut montrer qu'ils forment une famille libre
si la fonction , c'est-à-dire si pour tout x de l'intervalle,
,on doit prouver que tous les
sont nuls.
Pour cela on peut donner desz valeurs particulières à x et on n'a pas 36 valeurs particulières qui apparaissent dans le texte !
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