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Base d'un espace vectoriel

Posté par
wolvi01 12-09-09 à 21:32

Bonjour à tous,
j'ai un exercice de maths sur les espaces vectoriels, qui doit me permettre de me familiariser avec la notion de base.
j'ai E le R-espace vectoriel des fonction définies de ]-1;1[
dans R qui sont engendrées par les fonctions suivantes
a(x)=sqrt( (1+x) / (1-x) )  b(x)=1 / ( a(x) )  c(x)=1 / sqrt( 1-x^2 )   d(x)=x . c(x)

Le but de cet exercice est de donné une base de E.

Je ne pense pas que cela soit très compliqué mais je ne vois pas comment abordé ce genre d'exercice.
Si quelqu'un a un conseil ou une piste.
Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par
perroquetre : Base d'un espace vectoriel 12-09-09 à 21:45

Bonjour, wolvi01

Voilà une piste. On remarque que:

3$ a(x)=\frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} \ \ b(x)=\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \ \ c(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ d(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}

On arrivera donc à démontrer que la dimension de E est 2

Posté par
wolvi01re : Base d'un espace vectoriel 12-09-09 à 21:57

je suis d'accord avec cette dimension de ce fait une base de B sera composé de deux vecteurs u et v, donc chacune des fonctions doit posséder une décomposition unique sous la forme xu+yv.
Une base ne pourrait-elle pas être c et d?

Posté par
perroquetre : Base d'un espace vectoriel 12-09-09 à 21:59

Une base est effectivement (c,d)

Posté par
wolvi01re : Base d'un espace vectoriel 12-09-09 à 22:00

Merci pour ton aide.

Posté par
geo3re : Base d'un espace vectoriel 12-09-09 à 22:04

Bonsoir
Il suffit de regarder si les 4 éléments ( vecteurs) sont indépendants ou pas

3$a \ = \ \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \ = \ \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} \ \ = \ c+d\

3$b \ = \ \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \ \ = \ c-d

3$c \ = \ \frac{1}{\sqrt{1-x^2} \

3$d \ = \ \frac{x}{\sqrt{1-x^2} \

=> dimension 2

A+

Posté par
geo3re : Base d'un espace vectoriel 12-09-09 à 22:06

Re
Salut perroquet
en retard mais en Latex il me faut du temps.
A+

Posté par
perroquetre : Base d'un espace vectoriel 12-09-09 à 22:08

Bonjour, geo3  


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