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base d'un espace vectoriel
Bonjour, j'ai un peu de mal à résoudre un exercice :
E est un espace vectoriel de dimension n
f est un endomorphisme de E tel que fn est nul mais fn-1 ne l'est pas.
Il faut montrer qu'il existe e
E tel que la famille [e, f(e), ... , fn-1(e)] est une base de E.
Puisque la famille est de cardinal n, il suffit de montrer qu'elle est libre.
Pour cela j'ai supposé qu'il existait 
1, ... , n tels que
1 e + 2 f(e) + ... + nfn-1(e) = 0
Puis j'ai fait fn-1[1 e + 2 f(e) + ... + nfn-1(e)] = 1fn-1(e) = 0
Or il existe e tel que fn-1(e) 
0 donc 1=0
On a alors 2f(e) + ... + nfn-1(e) = 0
En recomposant par fn-2 puis fn-3, ... j'arrive à 1=2 = ... = n = 0
J'ai l'impression que mon raisonnement est quand même un peu bancal donc je voudrais savoir ce que vous en pensez et surtout comment le rédiger plus clairement ?
Merci d'avance
C'est à dire dans le mauvais sens ? Je dois partir de quoi ?
et je ne vois pas ce qu'est e, à part un élément de E différent de 0.
oui c'est bon sauf que tu dois dire comme fn-1 n'est pas nul il existe un vecteur e tel que fn-1(e) est non nul
de plus au lieu de mettre des ..... ce qui est un peu vague , tu pourrais dire soit k le plus grand indice tel qu'on ne sache pas encore la nullité de alors etc...
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