Bonsoir,

je suis en train de reprendre mes études "librement" et je suis un peu coincé sur un exercice d'algèbre linéaire.

Soit l'espace vectoriel R^3 sur R. Sa base canonique B=(e1,e2,e3).
On considère l'endomorphisme f de R^3 tel que :

f(e1)=e2+e3
f(e2)=-e1+2e2+e3
f(e3)=e1-3e2-2e3

1) donner la matrice A de f dans la base B :

Je trouve la matrice suivante :
0 -1 1
1 2 -3
1 1 -2

2) soit u=(x,y,z) un vecteur de R^3 et u'=(x',y',z') son image par f.Trouver x',y',z'.

je trouve le systéme suivant :

x'=-y+z
y'=x+2y-3z
z'=x+y-2z

3) montrer que Ker(f) est une droite vectorielle dont on donnera une base (u1).

je forme le système suivant :

-y+z=0
x+2y-3z=0
x+y-2z=0

En résolvant avec le pivot de Gauss, j'arrive au système suivant :

x+2y-3z=0
-y+z=0

Je peux en déduire que ker(f) est une droite vectorielle car le sous espace engendré est de dimensio : 3 ( car R^3) - 2 (car il reste deux équations)=1.

Par contre, je bloque pour trouver la base u1.

Avec x+2y-3z=0 et -y+z=0 , je peux dire que z=y et que x-y=0 donc x=z. Mais je ne suis pas sur de cela et je ne sais pas comment trouver une base à partir de ce résultat...

Pourriez vous m'aider ?

Merci.

Fabien.