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Base dans R^n

Posté par
moiramses2 12-04-08 à 12:05


    Bonjour tout le monde.

    Soit \varphi:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n} une application
    linéaire telle que : \varphi^{n}=0\\ \\     \varphi^{n-1}\neq0. Posons v\in\mathbb{R}^{n}/\varphi^{n-1}(v)\neq0 .

    On demande de montrer que \mathcal{B}=\{v,\varphi(v),\varphi^{2}(v),...,\varphi^{n-1}(v)\}
    est une base de  \mathbb{R}^{n} .

     \mathcal{B}  comporte  n  éléments. En effet, v\neq0 car sinon,
    puisque \varphi est linéaire, on aurait \varphi^{n-1}(v)=0 .

    Reste à montrer que \mathcal{B} forme une famille libre :

    Posons (\lambda_{0},\lambda_{1},...,\lambda_{n-1})\in\mathbb{R}^{n} .
    Montrons que \lambda_{0}v+\lambda_{1}\varphi(v)+...+\lambda_{n-1}\varphi^{n-1}(v)=0\Leftrightarrow\lambda_{i}=0\:\forall i\in[0,n-1]

    La première idée qui me vient à l'esprit, c'est de regarder ce que
    ça donne pour n = 2 et de raisonner ensuite par récurrence.

    Pour n = 2, on trouve bien que \lambda_{\text{0}}  et  \lambda_{\text{1}}  ne
    peuvent être que nuls.

    En raisonnant par récurrence, on supposerait que \mathcal{B} forme
    une famille libre dans \mathbb{R^{\text{n-1}}} pour un (n - 1)

    quelconque et on trouverait ensuite que c'est vrai pour n, c'est-à-dire
    que \lambda_{\text{n-1}} ne peut être que nul, sachant que les \lambda_{\text{0}}, \lambda_{\text{1}}, ...,\lambda_{\text{n-2}}
    sont tous nuls.

    Que pensez-vous de ce raisonnement ? Et si ce n'est pas bon, que faire ?

    Merci d'avance.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Base dans R^n 12-04-08 à 12:28

Bonjour,

ton raisonnement n´est pas rigoureux :

n-1 est fixé, cela ne signifie pas grand-chose de supposer que B forme une famille libre pour un certain n-1.

Je te propose le raisonnement suivant:

supposons les coefficients non tous nuls, et soit i l´indice du premier coefficient non nul.
On va montrer que ce coefficient est nécessairement nul lui aussi, ce qui sera contradictoire.

Pour cela, écris la relation de liaison qui reste en te rappelant que par définition de i, tous les coefficients d´indice strictement inférieur a i sont nuls.

Applique n-1-i a chaque membre de cette relation et déduis-en la contradiction souhaitée.

Posté par
infophilere : Base dans R^n 12-04-08 à 12:48

Bonjour

En composant successivement par \varphi, \varphi^2,...,\varphi^n c'est direct non ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Base dans R^n 12-04-08 à 13:00

Salut Kevin

Oui mais ce n´est pas rigoureux.
Tes trois petits points cachent une récurrence (forte), ce qui est aussi envisageable, mais plus long a rédiger dans le cas présent.

Posté par
NiRaDore : Base dans R^n 12-04-08 à 15:45

Bonjour. Merci pour vos réponses, car j'ai le même problème.

Je tente d'appliquer ce qui est dit dans le post de Tigweg :
Je voudrais montrer que : \lambda_{0}v+\lambda_{1}\varphi(v)+\lambda_{2}\varphi^{2}(v)+...+\lambda_{n-1}\varphi^{n-1}(v)=0\Leftrightarrow\forall i\in[0,n-1],\;\lambda_{i}=0

Je suppose que \forall i\in[1,i_{0}[/\lambda_{i_{}}=0. Je pose i_{0} l'indice du premier coefficient \lambda_{i}\neq0 . J'ai donc \forall i>i_{0},\:\lambda_{i}\neq0.

J'ai donc \underbrace{\lambda_{0}v+\lambda_{1}\varphi(v)+\lambda_{2}\varphi^{2}(v)+...}_{=0}+\underbrace{\lambda_{i_{0}}\varphi^{i_{0}}(v)+...+\lambda_{n-1}\varphi^{n-1}(v)}_{\neq0}=0
(il y a apparemment un bug pour les underbraces... en gros, ce qu'il y a à gauche de i_0 est nul et ce qu'il y a à droite non nul.)

\varphi^{n-1-i_{0}}\left(\lambda_{i_{0}}\varphi^{i_{0}}(v)+...+\lambda_{n-1}\varphi^{n-1}(v)\right)=\varphi^{n-1-i_{0}}(0)

\varphi^{n-1-i_{0}}\left(\lambda_{i_{0}}\varphi^{i_{0}}(v)\right)+...+\varphi^{n-1-i_{0}}\left(\lambda_{n-1}\varphi^{n-1}(v)\right)=0

\varphi^{n-1-i_{0}}\left(\lambda_{i_{0}}\varphi^{i_{0}}(v)\right)=-\varphi^{n-1-i_{0}}\left(\lambda_{i_{0}+1}\varphi^{i_{0}+1}(v)\right)-...-\varphi^{n-1-i_{0}}\left(\lambda_{n-1}\varphi^{n-1}(v)\right)

Mais je ne vois pas en quoi cela nous permet d'affirmer que \lambda_{i_{0}} est nul...

Posté par
NiRaDore : Base dans R^n 12-04-08 à 15:52

Car au final j'ai bien ça :

\lambda_{i_{0}}=\frac{-\varphi^{n-1-i_{0}}\left(\lambda_{i_{0}+1}\varphi^{i_{0}+1}(v)\right)-...-\varphi^{n-1-i_{0}}\left(\lambda_{n-1}\varphi^{n-1}(v)\right)}{\varphi^{n-1-i_{0}}\left(\varphi^{i_{0}}(v)\right)}

Mais qui me dit que mes termes à droites ne s'annulent pas ?

Je réfléchis... lol

Posté par
NiRaDohum 12-04-08 à 16:16

Enfin, ilfaut montrer que les termes de droite s'annulent je veux dire, car on a suppoé que \lambda_{i_{0}} était non nul.

J'ai en effet :  \lambda_{i_{0}}=\frac{-\varphi^{n-1-i_{0}}\left(\lambda_{i_{0}+1}\varphi^{i_{0}+1}(v)+...+\lambda_{n-1}\varphi^{n-1}(v)\right)}{\varphi^{n-1-i_{0}}\left(\varphi^{i_{0}}(v)\right)} sauf erreur de calculs.

Il faudrait donc montrer que \lambda_{i_{0}+1}\varphi^{i_{0}+1}(v)+...+\lambda_{n-1}\varphi^{n-1}(v)=0 car nous savons qu'une application linéaire s'annule en 0.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Base dans R^n 12-04-08 à 16:23

Ouh la, il y a des choses a revoir la!

Déja, ce n´est pas parce que i0 est l´indice du premier terme non nul que les coefficients suivants seront tous non nuls!
Cela signifie juste qu´il y a un coefficient non nul (celui qui a pour indice i0), mais on ne suppose rien pour ce qui se passe apres ce coefficient.

Ensuite ce que tu as écrit tout a la fin n´a aucun sens, puisque tu as divisé une expression vectorielle par le...vecteur phi puissance machin de machin! Genant, n´est-il pas?

Enfin pour répondre a ta question sur la facon de conclure, rappelle-toi que

i(j)(v)=i+j(v)

et que

n(v) = 0 pour tout v, d´ou:

m(v)= 0 pour tout m supérieur a n également!

Ainsi apres avoir composé par n-i-1, il ne te restera qu´un terme a gauche et 0 a droite!

Posté par
moiramses2re : Base dans R^n 12-04-08 à 17:12

J'ai fait le calcul en tenant compte des éléments que tu viens de donner - j'ai dû m'y reprendre plus d'une fois, m'embrouillant dans ma formule ! - mais je crois que ça y est.

Je n'étais pas sûre au départ qu'on pouvait faire la composition comme ça.

Je n'avais pas bien interprété non plus le fait qu'àu-delà de la valeur n de l'exposant, l'application est nulle.

Merci beaucoup. Je me sens un peu mieux.

Posté par
NiRaDoMerci 12-04-08 à 17:13

Merci à toi Tigweg.

Oui mon cerveau a un peu bugué, ce que j'ai écrit n'avais aucun sens. C'est bon je crois que j'ai réussi.

Merci beaucoup pour ton aide.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Base dans R^n 12-04-08 à 17:22

Avec plaisir vous deux!


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