En fait je pense avoir mal compris la représentation sous forme de matrice d'une famille génératrice... Si il y a une position de pivot par ligne, elle est génératrice. Mais si il y a des lignes nulles, en dessous de lignes présentant une position de pivot, garde-t-elle son caractère générateur ?

Merci d'avance

David

Salut,

F est donc l'ensemble des vecteurs du type (0,0,t,u), avec t, et u des rééls.

Soit v un vecteur de F. Alors v=(0,0,v1,v2)

et on a v = v1*(0,0,1,0) + v2*(0,0,0,1), avec v1 et v2 rééls ; ton v peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs (0,0,0,1) et (0,0,1,0). Ceci est valable pour tout vecteur v dans F. La famille {(0,0,0,1) ; (0,0,1,0)} est donc génératrice de F.

Oui, j'ai bien compris cela mais quand on rassemble les deux vecteurs sous forme de matrice, on n'a pas une position de pivot par ligne... Et c'est ça que j'ai du mal à comprendre...

C'est quoi une position de pivot par ligne ?
Tu veux dire qu'il y a des lignes avec 0 ? C'est ça qui te dérange ?

Oui, c'est bien ça. Un position de pivot de Gauss, c'est les coefficients en 1 de la matrice échelonnée réduite. Si la famille de deux vecteurs est génératrice, alors la matrice devrait admettre une position de pivot par ligne

Je comprends pas bien cette histoire de pivot, mais là c'est hors sujet je crois.
D'après ce que j'ai compris : si tu as une famille génératrice de ⁴ alors oui, la matrice associée à ta famille (4 lignes 4 colonnes) doit avoir cette position de pivot par ligne. Mais là on n'a qu'une famille génératrice de F, qui n'est pas ⁴...

Si tu es d'accord avec mon 1er post, alors tu devrais être convaincu que la famille est génératrice de F.

Oui, je suis convaincu, c'est juste que je m'attendais à avoir la preuve du caractère générateur visuellement...